Probabilità

Il gruppo di ricerca in probabilità si occupa di diversi aspetti relativi a modelli di evoluzione aleatori.

Controllo Stocastico

Il controllo ottimo di evoluzioni stocastiche è un problema che tratta di sistemi di evoluzione con parametri aleatori e con un parametro che può essere controllato dinamicamente al fine di minimizzare un funzionale costo. Si affrontano, con tecniche probabilistiche vari casi non standard:  controllo ottimo di equazioni stocastiche con memoria, di sistemi stocastici con componenti che evolvono seguendo diverse scale temporali, di sistemi con informazione parziale (cioè in cui lo stato non è direttamente osservabile), di sistemi che coinvolgono rumori non gaussiani (ad esempio vari tipi di processi di punto) e di sistemi non markoviani in generale. Si trattano inoltre problemi di equazioni stocastiche alle derivate parziali, andando ad affrontare tematiche di analisi infinito dimensionale. I problemi vengono affrontati via principio di programmazione dinamica, principio del massimo di Pontryagin, e recenti tecniche di randomizzazione.

Equazioni Differenziali Stocastiche

Si studiano equazioni differenziali stocastiche ed equazioni stocastiche alle derivate parziali, e in particolare problemi di regolarità rispetto al dato iniziale e problemi di regolarizzazione tramite rumore.

Viene anche affrontato lo studio delle equazioni stocastiche di tipo backward (BSDE), in cui è assegnata la condizione al dato finale, guidate da rumore gaussiano e da processi di punto: vengono affrontate BSDE di Riccati, con generatore quadratico, di tipo ergodico. Si studiano inoltre SPDE singolari "critiche" (quali l'equazione del calore con potenziale moltiplicativo e l'equazione di Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)) sfruttando formule di rappresentazione delle soluzioni regolarizzate (Feynman-Kac) che forniscono un legame con la meccanica statistica.

Meccanica Statistica

Molti modelli in meccanica statistica sono definiti mediante opportune probabilità (Misure di Gibbs) sullo spazio delle configurazioni del sistema. Rivestono particolare interesse i "sistemi disordinati" in cui sono presenti impurità, descritte matematicamente attraverso un "ambiente aleatorio". Si analizzano le proprietà asintotiche di sistemi con un numero molto elevato di componenti, con l'obiettivo di dimostrare la convergenza verso corrispondenti modelli continui e di caratterizzare proprietà salienti, tra cui le transizioni di fase. Vengono studiati in particolare modelli aleatori di polimeri, una classe di sistemi disordinati basati su passeggiate aleatorie. Questi modelli sono interessanti anche per il loro legame con le Equazioni Differenziali Stocastiche alle derivate parziali (in particolare l'equazione del calore stocastica).

Processi Stocastici

Si considerano vari processi stocastici e il loro comportamento asintotico nel tempo. Modelli basilari sono le passeggiate aleatorie con incrementi indipendenti e le loro versioni continue (processi di Lévy), per cui si studia il comportamento asintotico di probabilità di interesse (teoria del rinnovo). Viene inoltre studiato il comportamento in spazi discreti di passeggiate aleatorie singole e di sistemi di passeggiate aleatorie interagenti (come processi di diramazione, frog model, rumour model, processo di contatto). In particolare sono di interesse vari processi stocastici che servono da modello per fenomeni di evoluzione, riproduzione, diffusione di malattie/informazione in popolazioni biologiche.

Campi aleatori su varietà

Si studiano proprietà geometriche e analitiche di processi stocastici (campi aleatori) indicizzati da una varietà Riemanniana compatta. Particolare interesse è rivolto al caso della sfera unitaria con la metrica tonda, che trova possibili applicazioni in vari ambiti come la cosmologia, la climatologia, l'imaging diagnostico medicale,... La ricerca in questo ambito si sviluppa, brevemente, nel determinare la geometria e la topologia degli insiemi di sopralivello di questi campi mediante lo studio di alcuni loro funzionali. Una grande attenzione è rivolta al caso delle autofunzioni aleatorie del Laplaciano sferico ad alta frequenza, modello che trova motivazioni anche nella congettura di Berry sull'universalità delle autofunzioni di biliardi caotici.

Geometria Stocastica

La geometria stocastica si occupa di problemi all’incrocio tra la teoria della probabilità e la geometria convessa. Una parte di tale teoria è concentrata sullo studio dei politopi aleatori. Essi emergono come inviluppi convessi di punti che si trovino disposti nello spazio euclideo in accordo ad arbitrarie distribuzioni di probabilità, per esempio punti gaussiani o uniformemente distribuiti all’interno di corpi convessi prescritti. In quanto insiemi aleatori, se ne possono studiare i relativi funzionali geometrici - alcuni di natura combinatoria quali il numero di vertici, di spigoli e di facce, altri estensivi quali il volume e i volumi intrinseci – da un punto di vista stocastico. Per esempio, si possono studiare le fluttuazioni gaussiane di tali funzionali per un politopo aleatorio al divergere del numero dei punti dei quali esso è l’inviluppo convesso. I politopi aleatori trovano applicazioni sia in ambiti teoretici quali lo studio degli spazi di Banach e l’approssimazione di insiemi convessi, che applicati come l’analisi della complessità di algoritmi, l’ottimizzazione, fino alla biologia e all’archeologia.

Partecipanti