Analisi Armonica e Geometrica
Il gruppo di Analisi Armonica e Geometrica del Dipartimento di Matematica e Applicazioni presenta un considerevole spettro di interessi di ricerca a cavallo tra l'Analisi armonica e l'Analisi globale.
Per quanto riguarda l’Analisi armonica, sono oggetto di ricerca questioni inerenti l'Analisi armonica classica, la Teoria delle rappresentazioni di gruppi discreti, l'analisi di una grande varietà di problemi di Analisi globale e di Teoria geometrica della misura su varietà riemanniane, l'analisi di sub-laplaciani su gruppi nilpotenti e varietà CR, l'analisi di fenomeni fini legati alle rappresentazioni di gruppi semisemplici, la teoria della discrepanza, la convergenza di sviluppi in autofunzioni di operatori differenziali ellittici su varietà compatte, lo studio della trasformata di Fourier sul gruppo di Heisenberg. Quantunque le intersezioni tra le ricerche intraprese dai membri del gruppo abbiano intersezione vuota, il metodo fondamentale dell'Analisi armonica, che consiste, nel solco della tradizione aperta da Fourier nello studio della diffusione del calore, nell'analizzare oggetti di natura analitica scomponendoli in oggetti più semplici, che si prestano meglio ad essere studiati, per poi dedurre proprietà degli oggetti originari, è presente in tutti i filoni di ricerca summenzionati, e costituisce l'elemento essenziale di coesione del gruppo.
È importante segnalare che le ricerche in atto utilizzano anche metodi propri dell'Algebra e della Geometria: ciò è evidente in ricerche che coinvolgono l'analisi su varietà, in cui metodi analitici e geometrici agiscono sinergicamente, o in quelle che riguardano l'analisi su gruppi iperbolici in cui metodi analitici e proprietà algebriche vengono utilizzati di concerto. È doveroso inoltre far menzione delle ricerche che coinvolgono alcuni di noi, riguardanti l'analisi di un problema classico, che consiste nello stimare il numero di punti interi di un dominio dello spazio euclideo in dipendenza di un parametro che ne descrive la dilatazione, e dell'analogo problema in ambito geometrico che consiste nel disegnare una "buona" distribuzione di un insieme discreto di punti su una varietà riemanniana.
Il gruppo si è arricchito con il recente inserimento di alcuni membri la cui attività di ricerca si concentra più specificatamente su questioni di Analisi globale e di Teoria geometrica della misura. L’Analisi Geometrica può essere pensata come una collezione di tecniche di natura analitica sviluppate per affrontare problemi geometrici e topologici. Tipicamente, questi problemi sono formulati su uno spazio liscio dotato di una struttura geometrica (e.g. riemanniana) e coinvolgono funzioni di contenuto geometrico che soggiacciono a sistemi di equazioni o, più in generale, disequazioni differenziali, molto spesso non lineari. In anni più recenti, l’approccio dell’Analisi Geometrica è stato largamente esteso al fine di includere anche spazi singolari, importanti ad esempio in quanto limiti di spazi lisci per opportune nozioni di convergenza. Questi spazi vengono studiati sia intrinsecamente (Geometria Metrica) che, qualora appaiono come sottoinsiemi non regolari di uno spazio ambiente, da un punto di vista estrinseco (Teoria Geometrica della Misura). L’estensione a contesti geometrici generali (lisci e singolari) degli strumenti tipici dell’analisi negli spazi Euclidei ha aperto la via alla Analisi Globale che, ribaltando il punto di vista, si interessa di studiare come la geometria dello spazio soggiacente, ad esempio la sua curvatura, influenzi le proprietà globali qualitative e quantitative di oggetti analitici classici provenienti non solo dalla sfera delle equazioni differenziali.
Tematiche:
Analisi Armonica
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- Analisi armonica classica
- Rappresentazioni di reticoli di gruppi di Lie
- Analisi di sub-laplaciani su gruppi nilpotenti e varietà CR
- Rappresentazioni di gruppi semisemplici
- Teoria della discrepanza
- Sviluppi in autofunzioni di operatori differenziali ellittici su varietà compatte
- Trasformata di Fourier sul gruppo di Heisenberg
Analisi Geometrica
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- (Dis)equazioni differenziali e disuguaglianze integrali su varietà riemanniane
- Teoria geometrica della misura
- Mappe armoniche e p-armoniche: regolarità e problemi di Dirichlet
- Geometria metrica: superfici a curvatura integrale limitata (BIC) e spazi di Alexandrov