Geometria simplettica e complessa

Metodi topologici nell'analisi di dati

L'analisi topologica di dati si basa sull'idea che un insieme di dati spesso possa essere immerso in uno spazio euclideo di sufficientemente alta dimensione. Questo è sempre il caso quando i dati collezionati per ogni elemento della popolazione sono "misure" e quindi numeri razionali. L'immersione scelta nello spazio euclideo comporta delle scelte, che vanno compiute in base alle informazioni che si vogliono studiare. Benché i dati immersi in uno spazio euclideo rappresentino un sottoinsieme topologicamente discreto, è possibile associargli spazi topologici le cui componenti connesse ed altri invarianti di dimensione superiore siano non banali. Queste tecniche si propongono di comprendere che tipo di informazioni possiamo ottenere sui dati dalle proprietà topologiche di tali spazi e, viceversa, determinare lo spazio più appropriato affinché le informazioni sui dati a cui siamo interessati si traducano in caratteristiche topologiche dello spazio associato stesso.

Geometria differenziale

Studio delle varietà di Einstein omogenee; metriche nilsolitoniche e metriche standard su solvmanifold; studio del caso di segnatura indefinita. Metriche con olonomia speciale; costruzione di metriche quaternion-Kähler di curvatura negativa, studio della c-map nel caso omogeneo e di coomogeneità uno. Classificazione e costruzione di algebre di Lie nilpotenti paracomplesse. Studio di ulteriori strutture “speciali” compatibili con strutture (quasi) paracomplesse (ad esempio speciali metriche pseudoriemannianiane, strutture simplettiche). Ricerca e costruzione di varietà di Frobenius, cercando di generalizzare le costruzioni ottenute sviluppando le singolarità di superfici algebriche. Studio e caratterizzazione di strutture para-CR con forma di Levi degenere.

Geometria Kähleriana

Il problema centrale è stabilire quali varietà proiettive complesse ammettono una metrica Kähleriana di curvatura scalare costante. Secondo una nota congettura, solitamente detta di Yau-Tian-Donaldson, una tale metrica esiste precisamente quando la varietà è stabile. Poiché il concetto di stabilità a cui ci si riferisce coinvolge esclusivamente la natura algebro-geometrica della varietà proiettiva in esame, la congettura asserisce l'equivalenza tra una proprietà geometrico-differenziale ed una algebro-geometrica. Benché sia stata provata in alcuni casi importanti (su tutti il caso delle metriche di Kähler-Einstein su varietà di Fano), la congettura di Yau-Tian-Donaldson è tutt'ora aperta nella sua forma generale.

Geometria Riemanniana

Come è noto, esistono profonde relazioni tra la topologia e la curvatura di una varietà Riemanniana. In particolare, l'esistenza di metriche con speciali proprietà di curvatura talvolta si traduce in vincoli sulla topologia della varietà in esame. Allo stesso modo, la topologia di una varietà simplettica può essere influenzata all'esistenza di metriche compatibili aventi speciali proprietà di curvatura. Si studiano queste metriche e le possibili implicazioni topologiche della loro esistenza mediante metodi di geometria simplettica e quasi-complessa che sono tuttora in forte sviluppo.

Geometria Algebrica

Gli argomenti principali di interesse consistono nello studio degli spazi di moduli di fibrati vettoriali semistabili su curve algebriche complesse. I problemi studiati riguardano sia la geometria di questi schemi e di sottovarietà particolari (ad esempio, lo spazio dei moduli dei fibrati semistabili con determinante fissato o i divisori theta generalizzati), sia le applicazioni  alla teoria delle curve che derivano dallo studio degli stessi. Altri argomenti di interesse sono problemi di classificazione riguardanti superfici e threefold con varie tecniche (product quotient varieties, rivestimenti ramificati, quozienti,...).

Quantizzazione Geometrica

Una varietà simplettica è l’entità geometrica che formalizza la nozione di spazio delle fasi in meccanica classica. A una varietà simplettica si può associare, sotto determinate ipotesi, uno spazio di Hilbert che dipende da un parametro $h$, che gioca il ruolo di ‘costante di Planck’. Alla dinamica hamiltoniana sulla varietà si può far corrispondere una famiglia di operatori unitari sullo spazio di Hilbert. Analogamente, a un gruppo di simmetrie della varietà si può far corrispondere una rappresentazione unitaria sullo spazio. L’oggetto di studio è principalmente il legame delle proprietà asintotiche di questa corrispondenza, nel limite in cui $h$ tende a zero, con la geometria e con la dinamica simplettica della varietà.

Partecipanti