Analisi armonica

Il gruppo di Analisi Armonica del Dipartimento di Matematica e Applicazioni, pur culturalmente omogeneo per formazione e tradizione presenta un considerevole spettro di interessi di ricerca, che annoverano, tra gli altri, l'Analisi armonica classica, lo studio di questioni fini di Teoria delle rappresentazioni di gruppi discreti, in particolare gruppi iperbolici secondo Gromov, l'analisi di laplaciani su varietà riemanniane, in particolare varieta a crescita esponenziale di volume, l'analisi di sub-laplaciani su gruppi nilpotenti e varieta CR, l'analisi di fenomeni fini legati alle rappresentazioni di gruppi semisemplici, la teoria della discrepanza, la convergenza di sviluppi in autofunzioni di operatori differenziali ellittici su varieta compatte, lo studio della trasformata di Fourier sul gruppo di Heisenberg.

Quantunque le intersezioni tra le ricerche intraprese dai membri del gruppo abbiano intersezione vuota, è importante sottolineare che il metodo fondamentale dell'Analisi armonica, che consiste, nel solco della tradizione aperta da Fourier nello studio della diffusione del calore, nell'analizzare oggetti di natura analitica scomponendoli in oggetti piu semplici, che si prestano meglio ad essere studiati, per poi dedurre proprietà degli oggetti originari, è presente in tutti i filoni di ricerca summenzionati, e costituisce l'elemento essenziale di coesione del gruppo. Ad esempio, le ricerche concernenti lo studio di proprieta fini di rappresentazioni sul gruppo $SL(2,\mathbb{R})$ sono di natura completamente diversa da quelle riguardanti l'analisi di rappresentazioni (temperate) di gruppi iperbolici, a prescindere dal fatto che essere riguardano strutture radicalmente differenti, un gruppo di Lie classico nel primo caso e gruppi discreti, con speciali proprietà metriche del grafo di Cayley associato, nel secondo. Tuttavia, non c'è dubbio che esse siano correlate e condividano il medesimo spirito.

È importante segnalare che le ricerche in atto utilizzano anche metodi propri dell'Algebra e della Geometria: ciò è evidente in ricerche che coinvolgono l'analisi su varietà, in cui metodi analitici e geometrici agiscono sinergicamente, o in quelle che riguardano l'analisi su gruppi iperbolici in cui metodi analitici e proprietà algebriche vengono utilizzati di concerto.
È doveroso inoltre far menzione delle ricerche che coinvolgono alcuni di noi, riguardanti l'analisi di un problema classico, che consiste nello stimare il numero di punti interi di un dominio dello spazio euclideo in dipendenza di un parametro che ne descrive la dilatazione, e dell'analogo problema in ambito geometrico che consiste nel disegnare una "buona" distribuzione di un insieme discreto di punti su una varietà riemanniana.

Quantunque le ricerche del gruppo non abbiano finalità applicative immediate, vale la pena di ricordare che tra le applicazioni tecnologiche dell'Analisi armonica vi sono l'Analisi del segnale, che ha condotto nel corso degli anni all'elaborazione della tecnologia dei CD, e il trattamento delle immagini digitali. Non è escluso che vi possano essere in futuro ricadute tecnologiche indirette dei risultati che il gruppo ha ottenuto.

Infine menzioniamo il fatto che il gruppo ha una tradizione di collaborazioni continuative con un buon numero di matematici italiani e stranieri. Tra quelli che al momento hanno collaborazioni attive con il gruppo, vogliamo segnalare M. Cowling (University of New South Wales, Sydney, Australia), L. Brandolini e G. Gigante (Universita di Bergamo), A. Martini (University of Birmingham), G. Mauceri (Univ. di Genova), C. Morpurgo (University of Missouri, USA), P. Sjogren (Chalmers University, Goteborg, Svezia), F. Ricci (SNS Pisa), A. Setti (Univ. dell'Insubria), T. Steger (Univ. Sassari), M. Vallarino (Politecnico di Torino), B. Wrobel (University of Wroclaw and Hausdorff Centre, Bonn).

Partecipanti