Il gruppo svolge ricerche nell'ambito dell'ottimizzazione, dell'analisi convessa e variazionale, e dei sistemi dinamici.
L’uso di strumenti e tecniche dell’analisi convessa in relazione all’analisi di problemi variazionali è una prassi ormai consolidata, che trova ampia esemplificazione in svariati contesti applicativi: in questo contesto, la nozione di sottodifferenziale per funzioni apre allo studio dei più generali operatori monotoni. Nell’ultima decade l’analisi convessa si è aperta anche alle strutture sub-Riemanniane, come i gruppi di Carnot, ed è diventata strumento fondamentale per lo studio di regolarità di funzioni e di soluzioni di equazioni differenziali.

Stabilità in problemi di ottimizzazione parametrica

I dati che definiscono un problema di ottimizzazione parametrica sono notoriamente soggetti ad errori di misurazione e a processi di approssimazione, che può risultare inappropriato trascurare. Questo fatto, insieme all’interesse per l’effetto di condizionamento che, in generale, le variazioni dei dati producono sulle soluzioni di un problema, motiva la necessità di condurre un’analisi della stabilità e della sensitività di problemi di ottimizzazione (sia scalare che vettoriale), soggetti a vario tipo di perturbazione. Tipicamente, questo genere di indagini si focalizza sullo studio del comportamento dei sistemi vincolari, dell’insieme delle soluzioni e della funzione di performance (o marginale) associati ad una classe di problemi, al variare del parametro di perturbazione. Esistono in letteratura consolidati approcci a tale tipo di questioni essenzialmente basati sull’impiego delle proprietà di stabilità per multifunzioni, proprietà che risultano in vario modo collegate ad opportuni concetti di regolarità, la cui fenomenologia è ancora oggetto di investigazione. In questi approcci, l’analisi quantitativa di condizioni che propiziano le summenzionate proprietà di stabilità trova una conveniente espressione formale attraverso elementi di un calculus (normale, tangenziale e sottodifferenziale) capace di trattare oggetti che, per loro natura, sfuggono ad una appetibile rappresentazione differenziale, all’interno del quale la geometria della convessità e i suoi surrogati variazionali ricoprono un ruolo di particolare importanza.

Disequazioni variazionali e problemi di equilibrio

Le disequazioni variazionali (VI) e, più in generale, i problemi di equilibrio (EP) costituiscono una cornice classica per rappresentare problemi provenienti da vari ambiti. Molti risultati di esistenza di soluzioni per VI ed EP si basano su ipotesi di monotonia e/o convessità dell’operatore e della bifunzione coinvolti. Più in generale si considerano le disequazioni variazionali (SVI) definite da operatori a più valori, e i problemi di quasi equilibrio (QEP), in cui il vincolo dipende dal punto ed è pertanto descritto da una multifunzione. In letteratura, i risultati di esistenza di soluzioni di SVI in genere richiedono ipotesi di monotonia generalizzata, nel senso di Karamardian, dell’operatore coinvolto; a questo proposito la caratterizzazione del relativo concetto di massimalità è interesse di studio.

Si studia l’esistenza di soluzioni di SVI in ipotesi di un diverso tipo di monotonia, detta Brezis (o topologica) pseudomonotonia dell’operatore, approssimando con una successione di operatori più regolari l’operatore di partenza.

Nel caso di QEP, in generale investigati con risultati di punto fisso per mappe, si utilizzano tecniche diverse recentemente proposte, che si basano su versioni regolarizzate del metodo di penalizzazione e che permettono di stabilire l’esistenza di equilibri sotto ipotesi deboli di coercività, sostituendo al problema QEP una successione di problemi EP, e in ipotesi di debole semicontinuità inferiore della mappa dei vincoli

Studio delle dinamiche complesse attraverso metodi topologici

Ulteriori argomenti studiati dal gruppo riguardano l’analisi di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, così come di equazioni alle differenze non lineari, con applicazioni alla teoria dei giochi (giochi di oligopolio, di congestione, evolutivi e di mercato) e ad altri ambiti micro- e macro-economici (quali, ad esempio, modelli di equilibrio economico generale, modelli neo-keynesiani e modelli di crescita ciclica), oltre che a contesti biologici, che prevedano la coesistenza tra specie diverse.

I suddetti ambiti, tutti riconducibili alla teoria dei sistemi dinamici, a tempo discreto o continuo, vengono analizzati, per lo più da un punto di vista qualitativo, per studiarne gli equilibri, la loro stabilità, e l’esistenza di orbite periodiche e caotiche. In particolare, la presenza di dinamiche complesse può essere dimostrata attraverso metodi dell’analisi non lineare basati sulla teoria del grado topologico e sulla nozione di relazione di ricoprimento di insiemi per funzioni continue, definite su sottoinsiemi dello spazio euclideo n-dimensionale omeomorfi al cubo unitario, che siano contrattive lungo alcune direzioni ed espansive lungo le rimanenti.
Va osservato che i sistemi dinamici a tempo continuo descritti da equazioni differenziali con coefficienti periodici possono essere studiati tramite le stesse tecniche usate per i sistemi dinamici a tempo discreto attraverso l’analisi della mappa di Poincaré associata al sistema, i cui punti fissi corrispondono alle soluzioni periodiche dell’equazione differenziale.

 

Operatori orizzontalmente monotoni sul gruppo di Heisenberg

Lo studio delle proprietà della mappa normale e della nozione di sottodifferenziale sul gruppo di Heisenberg ha avuto abbastanza recentemente un notevole impulso. Lo studio delle funzioni orizzontalmente convesse, della loro mappa sottogradiente orizzontale e, più in generale, di multifunzioni orizzontalmente monotone è un importante filone di ricerca: negli ultimi anni ci siamo concentrati sui problemi di regolarità di tali multifunzioni, sulle proprietà delle sezioni delle funzioni orizzontalmente convesse, avendo in particolare come obiettivo la possibilità di estendere la teoria classica euclidea alle equazioni di Monge-Ampère.

 

 

Partecipanti