Probabilità

Il gruppo di ricerca in probabilità si occupa di diversi aspetti relativi a modelli di evoluzione aleatori.

Controllo Stocastico

Il controllo ottimo di evoluzioni stocastiche è un problema che tratta di sistemi di evoluzione con parametri aleatori e con un parametro che può essere controllato dinamicamente al fine di minimizzare un funzionale costo. Si affrontano, con tecniche probabilistiche vari casi non standard:  controllo ottimo di equazioni stocastiche con memoria, di sistemi stocastici con componenti che evolvono seguendo diverse scale temporali, di sistemi con informazione parziale (cioè in cui lo stato non è direttamente osservabile), di sistemi che coinvolgono rumori non gaussiani (ad esempio vari tipi di processi di punto) e di sistemi non markoviani in generale. Si trattano inoltre problemi di equazioni stocastiche alle derivate parziali, andando ad affrontare tematiche di analisi infinito dimensionale. I problemi vengono affrontati via principio di programmazione dinamica, principio del massimo di Pontryagin, e recenti tecniche di randomizzazione.

Equazioni Differenziali Stocastiche

Si studiano equazioni differenziali stocastiche ed equazioni stocastiche alle derivate parziali, e in particolare problemi di regolarità rispetto al dato iniziale e problemi di regolarizzazione tramite rumore.

Viene anche affrontato lo studio delle equazioni stocastiche di tipo backward (BSDE), in cui è assegnata la condizione al dato finale, guidate da rumore gaussiano e da processi di punto: vengono affrontate BSDE di Riccati, con generatore quadratico, di tipo ergodico. Si studiano inoltre SPDE singolari "critiche" (quali l'equazione del calore con potenziale moltiplicativo e l'equazione di Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)) sfruttando formule di rappresentazione delle soluzioni regolarizzate (Feynman-Kac) che forniscono un legame con la meccanica statistica.

Meccanica Statistica

Molti modelli in meccanica statistica sono definiti mediante opportune probabilità (Misure di Gibbs) sullo spazio delle configurazioni del sistema. Rivestono particolare interesse i "sistemi disordinati" in cui sono presenti impurità, descritte matematicamente attraverso un "ambiente aleatorio". Si analizzano le proprietà asintotiche di sistemi con un numero molto elevato di componenti, con l'obiettivo di dimostrare la convergenza verso corrispondenti modelli continui e di caratterizzare proprietà salienti, tra cui le transizioni di fase. Vengono studiati in particolare modelli aleatori di polimeri, una classe di sistemi disordinati basati su passeggiate aleatorie. Questi modelli sono interessanti anche per il loro legame con le Equazioni Differenziali Stocastiche alle derivate parziali (in particolare l'equazione del calore stocastica).

Processi Stocastici

Si considerano vari processi stocastici e il loro comportamento asintotico nel tempo. Modelli basilari sono le passeggiate aleatorie con incrementi indipendenti e le loro versioni continue (processi di Lévy), per cui si studia il comportamento asintotico di probabilità di interesse (teoria del rinnovo). Viene inoltre studiato il comportamento in spazi discreti di passeggiate aleatorie singole e di sistemi di passeggiate aleatorie interagenti (come processi di diramazione, frog model, rumour model, processo di contatto). In particolare sono di interesse vari processi stocastici che servono da modello per fenomeni di evoluzione, riproduzione, diffusione di malattie/informazione in popolazioni biologiche.

Partecipanti