Metodi matematici per l'economia

Il gruppo svolge ricerche nell'ambito dell'ottimizzazione, dell'analisi convessa e dell'analisi variazionale.
L’uso di strumenti e tecniche dell’analisi convessa in relazione all’analisi di problemi variazionali è una prassi ormai consolidata, che trova amplia esemplificazione in svariati contesti applicativi: in questo contesto, la nozione di sottodifferenziale per funzioni apre allo studio dei più generali operatori monotoni. Nell’ultima decade l’analisi convessa si è aperta anche alle strutture sub-Riemanniane, come i gruppi di Carnot, ed è diventata strumento fondamentale per lo studio di regolarità di funzioni e di soluzioni di equazioni differenziali.

Problemi di equilibrio

I problemi di equilibrio costituiscono un cornice classica per rappresentare problemi provenienti da vari ambiti. Molti risultati di esistenza di soluzioni per EP si basano su ipotesi di monotonia e/o convessità. Esistono tuttavia condizione di coercività meno restrittive che conducono all’esistenza di soluzioni di EP. Ci si propone di investigare un problema di convergenza del metodo barriera, in combinazione con metodi di regolarizzazione per la soluzione di una classe generale di problemi di equilibrio ambientati in uno spazio di Banach riflessivo. Un altro ambito di indagine che coinvolge i problemi di equilibrio riguarda il caso in cui la bifunzione “obiettivo” F dipende anche da un parametro. Ci si propone si studiare le proprietà di lipschitzianità della mappa delle soluzioni attraverso l’analisi della regolarità metrica dell’operatore “sottodifferenziale diagonale”, strettamente legato all’operatore AF.

Mappe con immagini convesse

In molteplici contesti in cui le proprietà peculiari degli insiemi convessi trovano proficue applicazioni, l’invarianza stessa della convessità rispetto a trasformazioni descritte da mappe e multifunzioni diventa un fenomeno significativo e denso di conseguenze. Tra queste, vi è il fatto che alcune classi di problemi di ottimizzazione con dati non necessariamente convessi esibiscono un comportamento locale tipico dei problemi di ottimizzazione convessa (“hidden convexity”). Su questo tema, tra i recenti risultati di maggior impatto si colloca quello dovuto a B.T. Polyak, che riguarda la conservazione della convessità di “piccole bocce” rispetto a trasformazioni C1,1 regolari di spazi Hilbertiani, poi esteso a mappe definite su una sottoclasse degli spazi di Banach uniformente convessi. Sono stati ottenuti alcuni risultati di questo tipo, che permettono di estendere la permanenza della convessità di “piccole bocce” nel caso di opportune perturbazioni di multifunzioni convesse. Si intenderebbe affrontare lo studio dei seguenti aspetti della summenzionata problematica: analisi di leggi di conservazione della convessità di natura non locale; ulteriore ampliamento delle classi ad oggi note di mappe con immagini convesse; utilizzo di elementi utili, tra quelli acquisiti nei punti precedenti, al fine di definire classi di problemi di ottimizzazione che beneficino di convessità nascosta.

Operatori orizzontalmente monotoni sul gruppo di Heisenberg

Lo studio delle proprietà della mappa normale e della nozione di subdifferenziale sul gruppo di Heisenberg è un filone di ricerca che negli ultimi anni ha avuto un notevole impulso. Abbiamo caratterizzato le funzioni H-convesse tramite il sottogradiente orizzontale. Questo ci ha permesso di provare anche un importante risultato di monotonia per la mappa normale e un teorema di integrabilità alla Rockafellar, ed ha aperto la strada allo studio dei più generali operatori monotoni di cui, come nel caso classico, il sottogradiente orizzontale per una funzione H-convessa ne è il prototipo. Abbiamo iniziato lo studio di questi operatori monotoni: nostro primo intento ora è quello di studiare la locale limitatezza e la superiore semicontinuità per queste mappe.

Partecipanti