Il problema degli N-corpi e le sue orbite periodiche

di Susanna Terracini, in collaborazione con Davide Ferrario e Vivina Barutello

Il moto dei pianeti e degli altri corpi celesti e' regolato dalla legge di Newton della gravitazione universale secondo la quale la forza di attrazione gravitazionale di un corpo su un altro e' diretta secondo la congiungente ed e' proporzionale all'inverso del quadrato della distanza ed al prodotto delle masse

$F = G \; \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

Da punto di vista matematico il moto del sistema e' regolato da un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Le equazioni differenziali del moto di una coppia di corpi sono equivalenti a quelle del moto di un corpo soggetto ad una forza centrale, che verifica le tre leggi di Keplero:

L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.
I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.

Il sistema di equazioni differenziali che regolano il moto di molti corpi prende il nome di sistema degli N-corpi.

$m_j \ddot q_j = \gamma \sum\limits_{k\neq j }^{n} \frac{m_j m_k(q_j-q_k)}{|q_j-q_k|^3}, j=1,\ldots,n \qquad \qquad \qquad (1)$

dove i numeri positivi $m_1,m_2,\ldots m_n$ sono le masse dei corpi la cui posizione e' rappresentata dai vettori tridimensionali $q_1,q_2,\ldots,q_n$ , funzionidel tempo t. Il problema dei due corpi $n = 2$ il problema si pu' risolvere esplicitamente. Il moto di sistemi di tre o piu' corpi non e' risolubile in modo esplicito ed e' estremamente complesso da descrivere. Una chiave per analizzare questa complessita' e' costituita dall'analisi di alcune traiettorie relativamente semplici, quelle che si ripetono dopo un certo periodo: le orbite periodiche. Le orbite periodiche piu' semplici sono associate alle configurazioni centrali e hanno la caratteristica principale di avere una forma costante (invariante per similitudini) che ruota attorno ad un asse fissato. I moti periodici, oltre ad avere interesse di per se', sono significativi in quanto possono "catturare" altre traiettorie per tempi piu' o meno lunghi (ecco un esempio di traiettoria che connette l'orbita della cometa di Halley con il punto Lagrangiano del sistema Terra-Sole). Recentemente A. Chenciner e R. Montgomery hanno scoperto un'orbita periodica nella quale tre corpi si inseguono lungo una curva a forma di otto.

Le orbite periodiche giocano dunque un ruolo chiave nella descrizione della dinamica dei sistemi di N-corpi. E' possibile costruire orbite periodiche nuove sfruttando le simmetrie del sistema anche per moltissimi corpi. La descrizione delle possibili simmetrie dell'insieme delle traiettorie e' un problema algebrico-geometrico. Fra tutte le possibili curve simmetriche, si selezionano quelle che soddisfano il principio di minima azione, sono cioe' le curve geodetiche relative ad una particolare nozione di lunghezza, associata al potenziale di interazione gravitazionale. In questo modo si possono trovare moltissime orbite periodiche, a patto di saper escludere le collisioni fra due o piu' corpi nelle traiettorie minimali. E' questo l'oggetto di ricerche in corso presso il Dipartimento di Matematica dell'Universita' di Milano Bicocca.

Alcune animazioni (cliccare sulla figura)