MODELLO

Le attivita' dell' Unità locale si sono concentrate sullo studio delle soluzioni di equazioni differenziali non lineari, di interesse principalmente nel campo della Fisica Matematica. Sono state prese in esame tanto equazioni e sistemi alle derivate parziali quanto sistemi di equazioni ordinarie. Fra le altre, sono state esaminate problematiche legate ai problemi seguenti:

1) EQUAZIONI E SISTEMI ELLITTICI CON FORTE INTERAZIONE E PARTIZIONI OTTIMALI: ESISTENZA, PROPRIETA' QUALITATIVE E PROBLEMI DI FRONTIERA LIBERA ASSOCIATI
Le ricerche della nostra unità locale riguardano lo studio di alcuni problemi variazionali connessi al fenomeno della segregazione per sistemi di popolazioni fortemente competitivi. Un punto di interesse della ricerca riguarda l'analisi asintotica del fenomeno di segregazione spaziale in sistemi sia ellittici che parabolici, quando il coefficiente di competizione interspecifica tende all'infinito. Al fenomeno di segregazione sono stati associati, a partire da [CTV1], alcuni problemi di partizione ottima del dominio e problemi di frontiera libera, analogamente e quanto fatto nella letteratura esistente (vedi [D,DD1,DD2,DDM,DHMP]), principalmente nel caso di due densità in competizione. Nel lavoro [CTV3] viene studiato il problema della energia minima per sistemi di k densità, con condizioni al contorno fissate, sotto il vincolo che i supporti siano mutuamente disgiunti. Si ottiene innanzitutto esistenza, unicità e stabilità rispetto ai dati della partizione minimale. Si mostra che i minimi, pur non esistendo propriamente una equazione di Eulero -Lagrange associata, verificano un insieme di disequazioni differenziali che definiscono una interessante classe funzionale (la classe S). Nell'ambito della classe S, si studiano le proprietà di regolarità locale (e globale) sia per le densità sia per le frontiere libere relative. L'analisi delle proprieta' locali degli elementi della classe e' basata su risultati recenti di Caffarelli, Jerison, Kenig [CJK] e opportune estensioni sviluppate nel corso del lavoro. In [CTV4] si studia un analogo problema di partizione ottimale, ma per funzionali che coinvolgono gli autovalori lineari degli elementi della partizione. Si mostra che opportune riscalate delle autofunzioni associate ai primi autovalori della partizione minimale, appartengono ad una classe funzionale di tipo S. Questo fatto permette di applicare alla soluzione del problema la teoria di regolarità sviluppata in [CTV3]. Come applicazione dei risultati ottenuti, si propone una nuova caratterizzazione variazionale della prima curva dello spettro di Fucik (sia per operatori lineari che quasilineari), ed inoltre alcune varianti delle formule di monotonia di Alt-Caffarelli-Friedman che portano, in dimensione 2, ad alcuni teoremi di tipo Liouville.

2) PROBLEMI NONLINEARI PER EQUAZIONI DI TIPO MISTO E DEGENERE
Problemi al contorno per equazioni nonlineari di tipo misto ellittico-iperbolico e degenere si trovano in vari problemi di interesse nella fisica e la geometria come nei problemi della dinamica di gas tronsonico [F] e nella immersione di una varietà riemanniana con curvatura che cambia segno [L]. Le condizioni naltuali al bordo possono essere divise in due tipi: quelle che sono prescritte su tutto il bordo sono chiamate chiuse (p.e. condizioni di Dirichlet o Neumann) e quelle prescritte su un sottoinieme proprio sono chiamate aperte (p.e. condizioni di Tricomi). Nella dimamica di un gas transonico, problemi con condizioni chiuse/(aperte) al bordo vengono usati per modellizzare flussi attorno profili/(in un canale) respettivamente. Problemi con condizioni chiuse al bordo sono generalmente sopra-deteminati in spazi di regolarità classica e quindi sono piu ' difficile da trattare. Inoltre, l 'uso delle tecniche tradizionali dell 'analisi nonlineare per trattare problemi di tipo misto richiede informazioni precise sulla parte lineare che spesso non si trovano in letteratura. Nell'unità di ricerca locale ci si e' occupati di sviluppare metodi variazionali e topologici e contemporaneamente l 'analisi lineare necessaria per trattare problemi nonlineari di tipo misto ellittico-iperbolico o degenere. Partendo da un principio di massimo per soluzioni classiche del problema di Tricomi [ANP], sono stati stabiliti un principio di massimo compatibile con una nozione di soluzione debole [LP2], l'esistenza di un autovalore principale [LP3] e stime da sotto per il raggio spettrale del problema di Tricomi lineare [LP4]. Utilizzando questi risultati lineari, sono stati mostrati, con l'uso di metodi topologici, risultati di esistenza ed esistenza con unicità per problemi di Tricomi semilineari in casi di crescita sottocritica [LP4]. Infatti, sfruttando l 'invarianza della parte lineare rispetto a certe dilatazioni nonomogenee si e' dimostrata una identità di tipo Pohozaev, da cui si e' dedotta l 'esistenza di un fenomeno di esponente critico di tipo potenza per una grande classe di equazioni di tipo misto e degenere sotto varie condizioni al bordo di tipo classico e aperto [LP5].

3) ORBITE PERIODICHE PER PROBLEMI DEGLI N-CORPI
I moti di equilibrio relativo corrispondenti alle configurazioni centrali sono senza dubbio le piu' note soluzioni periodiche del problema degli N-corpi ([SM], [MH]) e, oltre a possedere una naturale equivarianza rispetto ad una azione S^1, sono minimi dell'azione lagrangiana nella classe dei lacci equivarianti rispetto a tale azione. In diversi recenti lavori questa idea e' stata generalizzata e sono state utilizzate le molteplici invarianze dell'equazione degli N-corpi per costruire nuove traiettorie periodiche tramite un principio variazionale (cfr [AC, CM, C]). In questo contesto la nostra unità locale ha dato diversi contributi ([A1, A2, BT, BFT, FT, VT]). Il lavoro [FT] fornisce un metodo generale per costruire spazi di lacci equivarianti adatti all'applicazione di un principio di minima azione in presenza di simmetrie; inoltre viene stabilito un criterio che assicura che le traiettorie minimali non abbiano collisioni (parziali o totali). Nel caso dei 3 corpi si e' potuto andare oltre, estendendo in [BFT] la classificazione delle simmetrie e dimostrando che i minimi equivariani non presentano mai collisioni. Nel lavoro [TV] e' stata infine trattato una caso di una condizione mista geometrico-topologica che da' luogo a traiettorie minimali non banali e senza collisioni. Il risultato e' stato ottenuto tramite una particolare tecnica di geodetiche con ostacolo.

4) ORBITE PERIODICHE PER CATENE DI FERMI-PASTA-ULAM.
Nel 1955 Fermi, Pasta ed Ulam ([FPU]) introdussero il loro celebre modello di reticolo non lineare, con l'intenzione di verificare numericamente il principio di equipartizione dell’energia tra i modi normali (termalizzazione), ed ottenendo invece un risultato in aperta contraddizione con le loro aspettative. Il tentativo di comprendere le ragioni di tale comportamento del sistema ha stimolato un'intensa attività di ricerca, che dai tempi dell`esperimento originario non ha conosciuto soste e che ancor oggi e' ben lontana dal potersi considerare conclusa; una recensione relativamente recente del soggetto puo' essere trovata in [PR] e [CNA].
Tra i contributi piu' recenti, [R] e [AKT] sono di grande interesse per il nostro programma. Il primo articolo e' dedicato all'applicabilita' della teoria KAM, dimostrata analiticamente mediante un uso accorto delle simmetrie del sistema, che consente di evitare i difficili problemi di risonanza tra le frequenze proprie dei modi normali. Come conseguenza, si mostra che il sistema esibisce una dinamica ricca, che si manifesta con la presenza sia di orbite quasi periodiche, sia di orbite periodiche di periodo minimo arbitrariamente grande. La nostra unita' locale ha contribuito al soggetto con il lavoro [AKT]. Oggetto di questo articolo sono invece le sole orbite periodiche, dal punto di vista della teoria delle biforcazioni. Tra queste, le ben note orbite di Lyapunov, ovvero i rami di biforcazione primaria che si originano in corrispondenza ai sottomultipli delle frequenze proprie dei modi normali. Nel lavoro si suggerisce la presenza di un originale meccanismo di biforcazione secondaria, dipendente da interessanti fenomeni di concentrazione delle frequenze di biforcazione primaria: l'efficacia del meccanismo viene verificata sperimentalmente, sia dal punto di vista numerico, sia per mezzo di dimostrazioni assistite dal calcolatore.

1) SISTEMI DI REAZIONE DIFFUSIONE
Nel breve termine ci proponiamo di estendere alcuni risultati di tipo Liouville contenuti in [CTV4] al caso della dimensione superiore a 2. Tali risultati servirebbero a provare la validita' di stime uniformi delle costanti di Holderianita' nello studio asintotico dei fenomeni di segregazione per sistemi fortemente competitivi di tipo Lotka-Volterra. Ci proponiamo di condurre tale analisi anche al caso di coefficienti di interazione interspecifica non simmetrici. Ci interessa in generale lo studio delle proprieta' qualitative della configurazione limite di segregazione ed in particolare la Determinazione di formule di rappresentazione locale intorno ai punti di molteplicita', sul modello dei risultati ottenuti in [CTV1,CTV2,CTV3].
Inoltre vorremmo dimostrare l'unicita' dei possibili stati segregati nel caso di tre popolazioni sul piano. Tale risultato mostrerebbe che, benche' i modelli competitivi non soddisfino propriamente una principio di minima energia, tale principio di minimizzazione e' invece soddisfatto nel limite asintotico. Nel lungo periodo vorremmo determinare insiemi di condizioni per l'esistenza di soluzioni non banali per i problemi di Neumann associati al funzionale di energia degli stati segregati. Nello stesso tempo vorremmo dimostrare che, nelle vicinanze di tali soluzioni per il problema variazionale esistono soluzioni stazionarie del sistema dinamico fortemente competitivo. Infine vorremmo intraprendere lo studio della dinamica associata ai sistema parabolici di reazione-diffusione.
Un altro argomento di interesse connesso al precedente riguarda l'analisi di sistemi ellittici e parabolici di tipo reazione-diffusione non cooperativi (vedi [dFM1,dFM2,MS]). In [dMT] è stato proposto lo studio di un sistema di notevole rilevanza applicativa; tale sistema modella il comportamento di reattori nucleari e lo studio della stabilità delle soluzioni al variare dei parametri è di chiaro interesse. Ci proponiamo di studiare un sistema di equazioni differenziali di tipo parabolico non cooperativo. Dapprima si considerano soluzioni di tipo stazionario di cui si vuole dimostrare l'esistenza o la non esistenza di soluzioni positive, al variare dei parametri. Inoltre si vuole studiare il comportamento asintotico del sistema parabolico, dimostrando l'esistenza di un attrattore globale.

2) EQUAZIONI ELLITTICHE SEMILINEARI

2.1) L'equazione di Kuramoto-Sivashinsky
L'equazione di Kuramoto-Sivashinsky descrive differenti sistemi fisici. Fu introdotta da Kuramoto e Tsuzuki [KT] nel contesto della turbolenza per un sistema di equazioni di reazione-diffusione e da Sivashinski per modellare instabilità termiche di diffusione in fronti laminari. E' anche stata derivata in diversi altri contesti fisici. In lavori recenti [ZM, Z1] è stato introdotto un nuovo metodo per dimostrare l'esistenza di soluzioni per equazioni nonlineari dissipative. Questo metodo si basa sull'esistenza di stima a priori autoconsistenti. Come primo obbiettivo vogliamo dimostrare l'esistenza e studiare le proprietà di rami di soluzioni stazionarie per l'equazione di Kuramoto-Sivashinsky estendendo i metodi introdotti in [AKT]. Poi vorremmo dimostrare l'esistenza di biforcazioni per tali rami: tali biforcazioni sono ben note, ma solo dal punto di vista numerico. Come obbiettivo di lungo termine vogliamo studiare l'esistenza di connessioni omocline o eterocline.

2.2) Equazioni ellittiche nonlineari degeneri con potenziale di Hardy.
Si e' studiato il problema dell'esistenza di soluzioni di equazioni ellittiche nonlineari degeneri con potenziale di Hardy e crescita critica su R^N, legate alla disuguaglianza di Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Usando un metodo di riduzione finito dimensionale, in [FS1] si e` studiato dapprima un problema di perturbazione, ottenendo oltre a risultati di esistenza, anche un risultato di "symmetry breaking", che migliora un precedente risultato di [CW]. Risultati non perturbativi sono stati ottenuti in [FS2]. In [AFP1] il problema dell'esistenza e della molteplicita' delle soluzioni per un'equazione ellittica con potenziale di Hardy e nonlinearita' critica e` stato studiato mediante metodi di concentrazione-compattezza; estensioni a equazioni quasi-lineari con il p-laplaciani sono ottenuti in [AFP2]. In [FP] si e' poi dimostrata l'esistenza di soluzioni che si concentrano in opportuni punti critici del coefficiente della nonlinearita'. Si vorrebbe approfondire lo studio di questa classe di equazioni. In particolare un obiettivo a breve termine consiste nello studio di soluzioni di tipo "torre", cioe' il cui profilo si ottiene dalla sovrapposizione di "bubbles" con diversi fattori di riscalamento. Ci si propone di ottenere risultati applicando il metodo di riduzione finito-dimensionale introdotto in [AB1], [AB2].
Un altro obiettivo piu' a lungo termine consiste nello studio di problemi che presentino piu` di una singolarita', motivato da problemi di interazione di potenziali generati da diversi corpi. Prevediamo di studiare sia il caso di un numero finito di singolarita' sia il caso dei reticoli.

2.3) Equazioni e sistemi di Schroedinger nonlineari.
Si studia il problema dell'esistenza di "ground states" per l'equazione di Schroedinger nonlineare, con particolare attenzione al fenomeno della concentrazione delle soluzioni quando il parametro di perturbazione (=costante di Planck) tende a zero, dato che questo fenomeno implica che le soluzioni si comportano come solitoni con un pacchetto di energia concentrato e descrive il passaggio dalla Meccanica Classica alla Meccanica Quantistica. Questo problema e' stato ampiamente studiato (vedi per esempio [AMN], [AMS], [G], [DF] e molti altri) soprattutto in presenza di un potenziale che fosse all'infinito limitato dal basso da una costante positiva. Lo studio di sistemi di equazioni di Schroedinger nonlineari singolarmente perturbate e' motivato dalla teoria di Hartree-Fock per un doppio condensato, cioe' per un sistema di due condensati di Bose-Einstein, vedi [EGBB] e [HMEWC]. La formulazione matematica del problema conduce alla studio di una sistema di due equazioni ellittiche nonlineari le cui incognite sono le ampiezze dei condensati. In [AFM] (in preparazione) si sta studiato il problema dell'esistenza di "ground states" per l'equazione di Schroedinger nonlineare nel caso di un potenziale infinitesimo all'infinito, con l'obiettivo di dimostrare esistenza e concentrazione dei "ground states". A lungo termine si prevede di studiare i sistemi di equazioni di Schroedinger nonlineari mediante metodi di tipo perturbativo, con particolare attenzione allo studio dei fenomeni di interazione di tipo attrattivo o repulsivo.

2.4) L'equazione di Henon
Il programma di ricerca proposto concerne lo studio di esistenza, unicita' e proprieta' qualitative delle soluzioni positive dell'equazione di Henon, e precisamente del problema di Dirichlet omogeneo su una palla. Il problema riveste una certa importanza in astrofisica, dove e' stato proposto come modello di distribuzione di massa nel contesto di cluster stellari a simmetria sferica ([H]).
Ci si propone di indagare l'esistenza di soluzioni positive per l'equazione di Henon per crescite sopracritiche. Tale studio e' motivato dai risultati di [N], che valgono nell'ambito delle soluzioni radiali per crescite ben superiori a quella critica. L'idea principale e' che la struttura dell'equazione rende possibile lo studio del problema in classi di funzioni opportunamente simmetriche, ma non radiali. In tali classi dovrebbe essere possibile ottenere dapprima risultati di immersione in opportuni spazi di funzioni con peso, anche in casi sopracritici, e quindi l'esistenza di soluzioni positive non radiali. Si verrebbe cosi' ad avere la coesistenza di soluzioni positive radiali e non radiali, che finora e' stata dimostrata soltanto per crescite minori o uguali a quella critica ([SSW], [S]).
Un tema di ricerca che si vorrebbe sviluppare a piu' lungo termine e' quello dell'unicita' di soluzioni radiali.

3) EQUAZIONI DI TIPO MISTO E DEGENERI
In [LP5] si e ' dimostrata una identita' di tipo Pohozaev, da cui si e' dedotta l 'esistenza di un fenomeno di esponente critico di tipo potenza per una grande classe di equazioni di tipo misto e degenere sotto varie condizioni al bordo di tipo classico e aperto [LP5] . Un'analisi completa dei gruppi di simmetria e le leggi di conservazione assoiciate per equazioni semilineari di tipo misto e degenere che sono l'equazione di Eulero-Lagrange per una lagrangiana e' stata completata in [LP6] e produce fenomeni nuovi di esponenti critici. Ci si propone inanzitutto di continuare lo studio di fenomeni di esponenti critici per problemi semilineari di tipo misto e degenere. Si ha esistenza di soluzione non banale per problemi sottocritici [LP4] ma invece per problemi sopracitici [LP5] o critici [LP6] si ha nonesistenza. Questi risultati suggeriscono la ricerca di risultati di tipo Brezis-Nirenberg [BN] in cui si cerca di trovare soluzioni a crescita critica tramite una perturbazione opportuna di ordine inferiore. Come secondo passo, ci si propone di studiare problemi lineari di tipo misto con condizioni chiuse al bordo del tipo Dirichlet/(Neumann). Equazioni differenziali di tipo Tricomi con queste condizioni al bordo sono usate per descrivere nel piano odografo la funzione di corrente/(una perturbazione del potenziale di velocita') nel problema di flusso transonico attorno un profile alare. Molto poco e' noto sulla esistenza ed unicita' per questi problemi tranne un risultato per un dominio molto particolare [M2]. Un'analisi preliminare sembra suggerire che un metodo di moltiplicatori, sfruttando le invarianze classificate in [LP6], dovrebbe produrre delle stime a priori sufficienti per mostrare risultati di esistenza ed unicita' per il problema di Dirichlet per domini stellati in un senso opportuno. Ci si aspetta una buona teoria di esistenza ed unicita ' per problemi con condizioni chiuse al bordo (in collaborazione con C.S. Morawetz, Courant Institute). Questo e' un progetto a lungo termine. Infine, si propone di combinare il gruppo conforme di invarianze sviluppato in [LP6] con le espressioni esplicite di soluzioni fondamentali per l'operatore di Tricomi in [B-NG] per costruire una funzione di Green per il problema di Tricomi (in collaborazione con J. Barros-Neto, Rutgers University).

4) ORBITE PERIODICHE PER IL PROBLEMA DEGLI N-CORPI
Il teorema di esistenza ottenuto in [FT], che generalizza gran parte dei teoremi di esistenza di orbite senza collisioni noti, non consente di considerare minimi vincolati a sottospazi non lineari dello spazio dei loop (componenti connesse). Una analisi delle orbite con collisioni doppie, nel caso dei tre e quattro corpi, e dei relativi livelli di azione può portare a teoremi di esistenza per minimi locali, e quindi di dimostrare l'esistenza di tali minimi (di cui si ha evidenza numerica). Un nuovo metodo può essere quello di utilizzare la regolarizzazione di Levi-Civita per determinare proprietà delle orbite di collisione (al variare di omega), soddisfacenti i vincoli di simmetria.
Proseguendo l'analisi iniziata in [BFT], ci si propone inoltre di classificare i gruppi di simmetrie del funzionale d'azione, in modo tale da determinare e classificare tutte le orbite simmetriche rispetto a questi gruppi. La classificazione prevede seguenti i passi: per prima cosa, si definiscono orbite irriducibili, se la rappresentazione spaziale del gruppo di simmetrie è irriducibile, e transitive, se l'azione sull'insieme degli indici è transitiva. Ogni rappresentazione del gruppo di simmetrie del funzionale d'azione si spezza quindi in un insieme finito di rappresentazioni irriducibili e transitive. Alla fine del processo, rimangono, per ogni n, solo un numero finito di gruppi di simmetria, che è possibile elencare con un algoritmo (implementato in GAP, se occorre). Intendiamo inoltre avvalerci di dimostrazioni assistite dal calcolatore per trovare nuove soluzioni. Intendiamo estendere le tecniche introdotte in [AKT] a questo ambito sviluppando un metodo compatibile con la presenza di singolarità in modo da dimostrare alcune rilevanti proprietà delle soluzioni ottenute in [FT] con metodi variazionali.
Un punto di vista diverso, che segue le idee introdotte in [MT], è quello di considerare una opportuna variazione della categoria di L"usternik-Schirelmann degli spazi di loop simmetrici. Infatti, seguendo [FH] e [MT], possibile cercare di calcolare gli anelli di coomologia degli spazi di loop equivarianti (eventualmente con metodi di computer algebra), perc poter dimostrare l'esistenza di punti critici del funzionale d'azione. L'anello di coomologia degli spazi di loop equivarianti potrebbe essere calcolato con gli strumenti descritti in [FH], tenuto conto che l'azione del gruppo induce un twisting sui coefficienti (locali) dei gruppi di comologia. In questo modo è possibile, dopo aver esplicitamente descritto la struttura cellulare degli spazi di loop oppure aver calcolato la corrispondente successione spettrale di Leray-Serre, determinare il cup-length dell'anello di coomologia (per esempio, per il caso dell'otto), in modo da trovare altri punti critici oltre ai minimi locali. Inoltre, si può cercare di supportare questa teoria con degli esperimenti numerici del tipo mountain-pass, in modo da verificare, in dimensione finita, il numero previsto di punti critici.

5) EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALMOST PERIODICHE
Le equazioni almost periodiche hanno proprieta` spesso radicalmente differenti da quelle delle loro parenti piu' prossime, ovvero le equazioni periodiche: [OT2] e [OT3] contengono alcuni contributi del nostro gruppo in tale direzione. Tali differenze giustificano le ben note difficolta' che si incontrano nella ricerca di soluzioni almost periodiche, tra le quali i celebri tori invarianti della Meccanica ([Mo]). Alcuni interessanti esempi di esistenza "generica"
si possono trovare in [B] e [AOO]. I risultati ottenuti in [B] ed [AOO] sembrano suggerire che i teoremi di esistenza in ambito periodico, possano essere tradotto all 'ambito almost periodico solo in senso "generico": il nostro tentativo e' quello di convalidare oppure confutare tale intuizione. Presupposto indispensabile per una teoria generale a riguardo, e' una chiara comprensione delle proprieta` d'insieme delle soluzioni almost periodiche di una data equazione differenziale. Tale obiettivo e' ambizioso gia` nel caso scalare, e non sembra vicino neppure per equazioni lineari. A medio termine, l'obiettivo e' quello di proseguire l'analisi di casi particolari.

6) ORBITE PERIODICHE PER CATENE DI FERMI PASTA ULAM
Intendiamo fornire una dimostrazione analitica dell'efficacia del meccanismo di biforcazione secondaria suggerito in [AKT], e li' verificato solo parzialmente, attraverso tecniche di dimostrazione assistita dal calcolatore. Un possibbile approccio analitico sara' presumibilmente di natura variazionale, e richiedera' un' accurata analisi dell'indice di Morse lungo i rami di biforcazione primaria: riuscendo ad esibire variazioni nell'indice, avremo ottenuto le desiderate biforcazioni secondarie ([K]). Il raggiungimento dell'obiettivo e' quindi subordinato alla comprensione dei seguenti fatti: (a) quando si verificano i fenomeni di concentrazione delle frequenze di biforcazione primaria, previsti in [AKT]; (b)come tali fenomeni di concentrazione sono legati a possibili variazioni dell'indice di Morse.
A medio termine ci si propone di affrontare il caso piu` semplice di concentrazione, ovvero quello che coinvolge coppie di frequenze solamente. Un obiettivo piu` ambizioso, da portare a termine nel lungo periodo, sara` quello di trattare fenomeni di concentrazione piu' complessi (ovvero fra piu` di due frequenze), completando l'analisi con una piu' accurata descrizione delle proprieta` delle soluzioni trovate.

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PROGETTO DI RICERCA: Problemi al contorno per equazioni e sistemi differenziali: metodi e applicazioni

Responsabile scientifico: Susanna Terracini

Componenti: Gianni Arioli, Vivina Barutello, Monica Conti, Veronica Felli, Davide L. Ferrario, Daniela Lupo, Simone Paleari, Kevin Payne, Enrico Serra, Massimo Tarallo, Federico Vegni, Gianmaria Verzini.

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