Programma
   
    Il programma proposto è molto dettagliato e comprende tutti gli esempi ed esercizi che verranno proposti
    durante il corso. Secondo la disponibilità di tempo potrà essere ampliato o,  più verosimilmente, snellito.
    Il testo di riferimento, che verrà seguito con poche variazioni durante le lezioni, è
     
     Walter A. Strauss  
    Partial Differential Equations. An introduction
    John Wiley and Sons, 1992

 
 1. Introduzione. Definizione di equazione differenziale alle derivate parziali e di soluzione (classica).
      Gli esempi classici delle equazioni della Fisica Matematica e loro deduzionue euristica:
      L'equazione di Laplace e i fenomeni statici; l'equazione del calore e della diffusione; l'equazione delle onde.
      Altri esempi di equazioni differenziali lineari e non lineari significative per la Fisica o le applicazioni.
   
  2. Equazioni lineari del primo ordine e metodo delle caratteristiche. Condizioni iniziali e al bordo. Problemi "ben posti".
      Classificazione delle equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti.

  3. L'equazione delle onde sulla retta. Soluzione del problema di Cauchy e formula di D'Alembert. Dominio di dipendenza
      e di influenza e principio di causalità. Conservazione dell'energia.

  4. L'equazione del calore sulla retta. Il principio del massimo. Metodo dell'energia, unicità e dipendenza continua dai dati
      della soluzione. Idea di soluzione fondamentale. Connessione con la descrizione di Einstein del moto browniano (cenni).

  5. Le equazioni delle onde e del calore sull'intervallo. Condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e di Robin. Serie di Fourier.
     Disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parseval. Convergenza di serie di Fourier. Applicazione ai problemi di Dirichlet
      non omogenei.

  6. Introduzione all'equazione di Laplace. Prima identità  di Green. Funzioni armoniche. Il teorema del valor medio. Principio
     del massimo e applicazioni. Principio di Dirichlet e applicazioni. Seconda identità di Green. Formula di rappresentazione di
     funzioni armoniche.
 
  7. Funzioni di Green e formule di rappresentazione per  il problema di Dirichlet del laplaciano; caso del semispazio e caso
     della palla; formula di Poisson. Problema di Neumann per il laplaciano e formula di rappresentazione della soluzione
     corrispondente. Caso caso del semispazio e della palla.

  8. Medie Sferiche ed equazione di Darboux. Formula di Kirchhoff per l'equazione delle onde in tre dimensioni.
       Conservazione dell'energia. Principio di Huysgens. Metodo della discesa di Hadamard e formula di rappresentazione
     di Poisson per l'equazione delle onde in due dimensioni spaziali. L'equazione delle onde con sorgente esterna e
     principio di Duhamel.

  9.  L'equazione del calore nello spazio. Esistenza e unicità problema di Cauchy. Principio del massimo. Cenni sull'equazione di          
      Schrödinger. L'oscillatore armonico e l'atomo di idrogeno.

  10. Equazioni del calore e delle onde su domini limitati. Esempi con alcune geometrie particolari. Il caso della membrana
      quadrata  e circolare.  Il caso della palla. Funzioni speciali e serie di Fourier generalizzate.
 
  11.  Autovalori autofunzioni e minimi del funzionale dell'energia. Principio del minimax. Autovalori del laplaciano su
        domini limitati e stima di Weyl (cenni).  

   12. Alcuni esempi di fenomeni nonlineari retti da equazioni a derivate parziali. Onde d'urto e metodo delle caratteristiche.
       Onde solitarie nell'acqua ed equazione di Korteweg-de Vries. Biforcazioni e problemi nonlineari agli autovalori.