ANALISI MATEMATICA I

                   C.d.D in INFORMATICA (A.A. 1999/2000)

                                      Prof. Carlo Morpurgo
 
 

1. Sistemi numerici.
Cenni di logica e teoria degli insiemi. I numeri naturali N e il principio di induzione. Elementi di combinatorica, formula di Newton.
I numeri razionali Q come campo ordinato non completo e allineamenti di decimali. I numeri reali R
come campo ordinato completo. Massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Funzioni elementari; potenze, radicali,
esponenziali e logaritmi e uso della proprieta` dell’estremo superiore in R. Il campo C: rappresentazione
algebrica e trigonometrica di un numero complesso, modulo, radici n-esime, e sottoinsiemi di C.

2. Successioni e serie.
Definizione e limiti di successioni. Prime proprieta`: monotonia, limitatezza ed esistenza di limiti. Calcolo dei limiti: proprieta` algebriche e confronti,
il Teorema dei due carabinieri. Definizione di serie numeriche e prime proprieta`:
condizione necessaria per la convergenza e proprieta` algebriche. Esempi fondamentali: serie geometrica, armonica, e armonica generalizzata.
Serie a termini non negativi: criteri del confronto, del rapporto, della radice. Convergenza e convergenza assoluta; il criterio di Leibniz.

3. Limiti e continuita` per funzioni di una variabile reale.
Funzioni numeriche: positivita`, simmetria, periodicita` e limitatezza.
Limiti di funzione: limite destro/sinistro, calcolo dei limiti, teoremi fondamentali sui limiti: esistenza, unicita`, e permanenza del segno
Confrono di infiniti ed infinitesimi, uso dei simboli “asintotico”, “o piccola” ed “o grande”, asintoti. Alcuni limiti notevoli.
Definizione di continuita` e prime proprieta`. Teoremi degli zeri e dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni elementari e continuita`.
Funzione composta: esistenza e continuita’.
 

4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale.
Operazione di derivazione : definizione di derivata, derivata destra e sinistra.
Algebra delle derivate, derivate di funzioni elementari, della funzione composta, della funzione inversa; derivate successive.
Punti angolosi, cuspidi, e punti a tangente verticale.
Teoremi fondamentali del calcolo differenziale : Teorema di Fermat ed estremi locali. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange
Applicazioni: monotonia e convessita` di una funzione (punti di flesso);  calcolo dei limiti (Teorema di l’Hopital).
La formula di Taylor : approssimazione lineare, quadratica e di Taylor di ordine n. Resto di Peano e Lagrange e applicazioni.
 Studio grafico di una funzione.
 

5. Integrale di funzioni di una variabile.
Definizione dell’integrale di Riemann. Caratterizzazione dell’integrale e significato geometrico. Classi di funzioni integrabili.
Proprieta` delle funzioni integrabili: Teorema della media. Funzione integrale e sue proprieta`.
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Definizione di primitiva. Metodi di
Integrazione per parti, per sostituzione e per decomposizione. Applicazioni  geometriche.
Integrali impropri: definizione e criteri di convergenza. Legame tra la convergenza di integrali impropri e la sommabilita` delle serie.

6. Calcolo per funzioni di piu’ variabili.
Limiti e continuita` per funzioni reali di piu` variabili. Derivate parzial, direzionali, e gradiente;
 piano tangente. Estremi liberi di funzioni di due variabili (cenni);
formula di Taylor in due variabili. Integrali doppi.
 
 
 

Libri consigliati:

R. A. Adams : Calcolo Differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana,
   Milano, seconda edizione 1998.

P. Marcellini e C. Sbordone : Analisi Matematica Uno, Liguori, Napoli, 1998.

P. Marcellini, C. Sbordone : Esercizi di Analisi Matematica I, parti
    1 e 2, Liguori, Napoli, 1989.

P. Morando e A. R. Scarfiotti : Matematica in Analisi: Esercizi di Analisi
    Matematica, C.L.U.T., Torino, 1998.