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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Settimana 5
  1. Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici e $X\times Y$ lo spazio prodotto con la topologia prodotto. Se $X$ compatto ma non connesso, e $Y$ connesso ma non compatto, allora $X\times Y$ :
    1. non connesso e non compatto.+

      S!

    2. connesso e compatto.+

      NO!
      Se $X\times Y$ connesso e compatto, allora sia $X$ che $Y$ sono connessi e compatti (immagini di $X\times Y$ mediante le proiezioni sulle due componenti), quindi $X$ connesso (assurdo).

    3. non connesso ma compatto.+

      NO!
      Se $X\times Y$ compatto , allora sia $X$ che $Y$ sono compatti (immagini di $X\times Y$ mediante le proiezioni sulle due componenti), quindi $Y$ compatto (assurdo).

    4. non compatto ma connesso.+

      NO!
      Se $X\times Y$ connesso, allora sia $X$ che $Y$ sono connessi (immagini di $X\times Y$ mediante le proiezioni sulle due componenti), quindi $X$ connesso (assurdo).

  2. Se $X$ uno spazio topologico connesso e $f\colon X \to \mathbb{R}$ una funzione continua allora:
    1. $f(X)\subset \mathbb{R}$ un intervallo.+

      S!
      Infatto l'immagine di un connesso un connesso, e i connessi di $\mathbb{R}$ sono tutti e soli gli intervalli o i punti singoli.

    2. $f(X)\subset \mathbb{R}$ un intervallo chiuso.+

      NO!
      Se $X=(0,1)\subset \mathbb{R}$ e $f$ l'inclusione, allora $f(X) = (0,1)$ che non un intervallo chiuso.

    3. $f^{-1}\{0\} \subset X$ un sottospazio connesso di $X$.+

      NO!
      Per esempio, $X=\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-1$, e $f^{-1}\{0\}$ non connesso.

    4. Esiste certamente $x_0\in X$ tale che $f(x_0) = 0$.+

      NO!
      No: se $X=\mathbb{R}$ e $f(x) = 1+x^2$, allora non esiste $x_0$ tale che $x_0^2+1=0$.

  3. Se $X$ uno spazio topologico compatto e $f\colon X \to \mathbb{R}$ una funzione continua allora:
    1. $f$ non suriettiva.+

      S!

    2. $f(X)\subset \mathbb{R}$ un intervallo chiuso.+

      NO!
      Se $X=\{-1,1\} \subset \mathbb{R}$, allora $X$ compatto. La funzione inclusione $f\colon X \to \mathbb{R}$ continua, ma $f(X)$ non un intervallo.

    3. $f^{-1}\{0\}\subset X$ un sottospazio compatto non vuoto di $X$.+

      NO!
      Se $X=\{1\}\subset \mathbb{R}$ e $f\colon X \to \mathbb{R}$ la mappa di inclusione, allora $f$ continua ma $f^{-1}\{0\} = \emptyset$.

    4. $f$ non iniettiva.+

      NO!
      Una funzione costante non iniettiva ma continua da un compatto a $\mathbb{R}$.

  4. L'insieme $X=\mathbb{Q}-\{0\}$ con la topologia indotta dall'inclusione in $\mathbb{R}$ ha:
    1. Una componente connessa.+

      NO!
      Osserviamo che la mappa $x\mapsto x/|x|$ ben definita da $X$ a $\{+1,-1\}$, e suriettiva: quindi $X$ non pu essere connesso, e quindi non pu avere una sola componente connessa.

    2. Due componenti connesse.+

      NO!
      Se $X$ ha due componenti connesse, diciamo $A_1$ e $A_2$, allora $X=A_1 \cup A_2$ e $A_1\cap A_2 = \emptyset$, e $A_1$ e $A_2$ sono connessi. Ma $A_i\subset \mathbb{R}$ connesso se e soltanto se un intervallo (o un punto), dunque $A_i$ ha un solo elemento visto che non esistono intervalli di $\mathbb{R}$ contenuti in $\mathbb{Q}$, e quindi $X$ non pu avere due componenti connesse dato che non ha solo due elementi.

    3. Un insieme non numerabile di componenti connesse.+

      NO!
      Se cos fosse, esisterebbe una funzione suriettiva da $X$ all'insieme delle componenti connesse di $X$, cio esisterebbe una funzione suriettiva dall'insieme numerabile $X$ ad un insieme non numerabile, e questo impossibile.

    4. Un insieme numerabile di componenti connesse.+

      S!

  5. Sia $X$ uno spazio topologico. Se $f\colon X \to \mathbb{Q}$ una funzione continua e suriettiva, allora:
    1. Lo spazio $X$ non pu essere n connesso n compatto.+

      S!

    2. Lo spazio $X$ pu essere compatto ma non connesso.+

      NO!

    3. Lo spazio $X$ pu essere connesso ma non compatto.+

      NO!

    4. Lo spazio $X$ pu essere sia compatto che connesso.+

      NO!

  6. La sfera $S^2$ quozientata rispetto alla relazione di equivalenza $P\sim Q \iff P = \pm Q$ omeomorfa a:
    1. Il piano proiettivo reale.+

      S!

    2. Una sfera.+

      NO!

    3. Il piano proiettivo complesso.+

      NO!

    4. Un cilindro.+

      NO!

  7. Se $X$ uno spazio topologico e $A\subset X$ un suo sottoinsieme aperto e non vuoto, allora:
    1. $A$ non pu essere chiuso.+

      NO!

    2. Se non esiste $x\in X- A$ tale che per ogni intorno $U$ di $x$ si ha \[ U\cap A \neq \emptyset \ \wedge \ U\cap (X- A) \neq \emptyset, \] allora $A$ chiuso.+

      S!

    3. Esiste $x\in A$ tale che per ogni intorno $U$ di $x$ si ha \[ U\cap A \neq \emptyset \ \wedge \ U\cap (X- A) \neq \emptyset. \]+

      NO!

    4. $A$ non pu avere un numero finito di elementi.+

      NO!

  8. Sia $X=\{ x\in \mathbb{C} \ :\ x^9 = x^{10} \}$ con la topologia euclidea. Allora:
    1. $X$ compatto e non connesso.+

      S!

    2. $X$ connesso e non compatto.+

      NO!

    3. $X$ compatto e connesso.+

      NO!

    4. $X$ non n compatto n connesso.+

      NO!

  9. Sia $X=\{ x\in \mathbb{C} \ :\ x^{2009} = x^{2010} \}$ con la topologia euclidea. Allora:
    1. $X$ compatto e non connesso.+

      S!

    2. $X$ connesso e non compatto.+

      NO!

    3. $X$ compatto e connesso.+

      NO!

    4. $X$ non n compatto n connesso.+

      NO!

  10. Sia $X= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ :\ x+y \in \mathbb{Q} \}$. Allora:
    1. $X$ connesso.+

      NO!

    2. $X$ non connesso.+

      S!

    3. La chiusura di $X$ in $\mathbb{R}^2$ omeomorfa a $\mathbb{R}$.+

      NO!

    4. $X$ un sottospazio chiuso di $\mathbb{C}$.+

      NO!

  11. L'insieme $X=\mathbb{Q}-\{0\}$ con la topologia indotta dall'inclusione in $\mathbb{R}$ ha:
    1. Una componente connessa.+

      NO!

    2. Due componenti connesse.+

      NO!

    3. Un insieme non numerabile di componenti connesse.+

      NO!

    4. Un insieme numerabile di componenti connesse.+

      S!