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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Settimana 4
  1. La funzione $f\colon [0,2\pi) \to S^1 \subset \mathbb{C}$ definita ponendo $f(t) = e^{i t}$ per ogni $t\in [0,2\pi)$ è
    1. una funzione continua e biunivoca, ma non è una mappa aperta.+

      SÌ!

    2. una funzione continua, biunivoca e aperta.+

      NO!
      Se fosse biunivoca, continua e aperta sarebbe un omeomorfismo: ma $[0,2\pi)$ non è compatto, dato che non è chiuso in $\mathbb{R}$, mentre $S^1$ è compatto. La compattezza è una proprietà topologica, per cui $f$ non è un omeomorfismo.

    3. una funzione biunivoca, aperta ma non continua.+

      NO!
      La funzione $f$ è continua.

    4. una funzione continua, biunivoca e chiusa.+

      NO!
      Se $f$ fosse continua, biunivoca e chiusa sarebbe un omeomorfismo, ma $[0,2\pi)$ non è compatto, dato che non è chiuso in $\mathbb{R}$, mentre $S^1$ è compatto. La compattezza è una proprietà topologica, per cui $f$ non è un omeomorfismo.

  2. Sia $X\subset [0,1] \subset \mathbb{R}$ un insieme infinito di numeri reali. Allora:
    1. Esiste $x\in X$ tale che $x\in \mathbb{Q}$ e $x$ è di accumulazione per $X$ in $\mathbb{R}$.+

      NO!

    2. L'insieme $X$ non può essere chiuso in $\mathbb{R}$.+

      NO!

    3. L'insieme dei punti di accumulazione di $X$ in $\mathbb{R}$ non può essere finito.+

      NO!

    4. L'insieme dei punti di accumulazione di $X$ in $\mathbb{R}$ non può essere vuoto.+

      SÌ!

  3. Sia $X= \{ x\in \mathbb{C} \ : \ x^4 \in \mathbb{Q} \}$. Allora:
    1. $X$ è compatto.+

      NO!

    2. $X$ non è compatto.+

      SÌ!

    3. La chiusura di $X$ in $\mathbb{C}$ è omeomorfa a $\mathbb{R}$.+

      NO!

    4. $X$ è un sottospazio chiuso di $\mathbb{C}$.+

      NO!

  4. Quali delle seguenti proprietà non è equivalente alla compattezza, per uno spazio metrico $X$ con la topologia metrica?
    1. Ogni insieme infinito di punti di $X$ ha (almeno) un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

    2. Ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente.+

      NO!

    3. $X$ è chiuso e limitato.+

      SÌ!

    4. Ogni insieme numerabile di punti di $X$ ha (almeno) un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

  5. Sia $X$ uno spazio metrico con la topologia metrica, non necessariamente euclideo. Quali delle seguenti proprietà non è equivalente alla compattezza?
    1. Ogni insieme infinito di punti di $X$ ha (almeno) un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

    2. Ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente.+

      NO!

    3. $X$ è limitato e chiuso.+

      SÌ!

    4. Ogni insieme numerabile di punti di $X$ ha (almeno) un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

  6. Sia $X\subset [0,1] \subset \mathbb{R}$ un insieme infinito di numeri reali. Allora:
    1. Esiste $x\in X$ tale che $x\in \mathbb{Q}$ e $x$ è di accumulazione per $X$ in $\mathbb{R}$.+

      NO!

    2. L'insieme $X$ non può essere chiuso in $\mathbb{R}$.+

      NO!

    3. L'insieme dei punti di accumulazione di $X$ in $\mathbb{R}$ non può essere finito.+

      NO!

    4. L'insieme dei punti di accumulazione di $X$ in $\mathbb{R}$ non può essere vuoto.+

      SÌ!