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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Settimana 3
  1. Siano $R_1$ e $R_2$ le due relazioni di equivalenza su $\mathbb{R}$ definite per ogni $x,y\in \mathbb{R}$ da \[ x R_1 y \iff x-y \in \mathbb{Q} \qquad x R_2 y \iff x-y \in \mathbb{Z} \] e $X=\mathbb{R}/R_1$, e $Y=\mathbb{R}/R_2$. Allora
    1. $X$ e $Y$ sono di spazi di Hausdorff.+

      NO!
      Lo spazio $X$ non di Hausdorff: $U\subset X$ un aperto se e soltanto se $U$ un insieme di classi di equivalenza la cui unione un aperto in $\mathbb{R}$. Ma l'unico aperto di $\mathbb{R}$ che contiene $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ stesso, e quindi ogni classe di equivalenza contenuta in un solo aperto di $\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ stesso), da cui segue che $X$ ha la topologia banale e non pu essere Hausdorff dato che non ha un solo elemento (esistono numeri irrazionali).

    2. $X$ di Hausdorff e $Y$ non di Hausdorff.+

      NO!
      Lo spazio $X$ non di Hausdorff: $U\subset X$ un aperto se e soltanto se $U$ un insieme di classi di equivalenza la cui unione un aperto in $\mathbb{R}$. Ma l'unico aperto di $\mathbb{R}$ che contiene $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ stesso, e quindi ogni classe di equivalenza contenuta in un solo aperto di $\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ stesso), da cui segue che $X$ ha la topologia banale e non pu essere Hausdorff dato che non ha un solo elemento (esistono numeri irrazionali). Invece $Y$ di Hausdorff: omeomorfo a $S^1$, che di Hausdorff perch metrico.

    3. $Y$ di Hausdorff e $X$ non di Hausdorff.+

      S!

    4. $X$ e $Y$ non sono spazi di Hausdorff.+

      NO!
      vero, $X$ non di Hausdorff; per $Y$ lo : omeomorfo a $S^1$, che di Hausdorff perch metrico.