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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Settimana 2
  1. Sia $p$ la proiezione $p\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $p(x,y) = x$. Siano $A\subset \mathbb{R}^2$ un aperto e $C\subset \mathbb{R}^2$ un chiuso, entrambi non vuoti. Allora:
    1. $p(A)$ un aperto ma $p(C)$ pu non essere un chiuso.+

      S!

    2. $p(C)$ un chiuso ma $p(A)$ pu non essere un aperto.+

      NO!
      La proiezione una mappa aperta: $p(A)$ necessariamente aperto.

    3. $p(C)$ sempre chiuso e $p(A)$ sempre aperto.+

      NO!
      Se per esempio $C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : xy=1\}$, allora $C$ chiuso ma $p(C) = \mathbb{R}- \{0\}$ non chiuso.

    4. $p(C)$ pu non essere chiuso e $p(A)$ pu non essere aperto.+

      NO!
      La proiezione una mappa aperta: $p(A)$ necessariamente aperto.

  2. Se $X$ e $Y$ sono due spazi topologici, e il prodotto $X\times Y$ ha la topologia prodotto:
    1. Se $U\subset X\times Y$ aperto di $X\times Y$, allora esistono $A\subset X$ e $B\subset Y$ entrambi aperti tali che $U=A\times B$.+

      NO!

    2. Se $A\subset X$ e $B\subset Y$ sono entrambi aperti allora $U=A\times B$ aperto in $X\times Y$.+

      S!

    3. Per ogni $x\in X$ il sottoinsieme $\{x\} \times Y \subset X\times Y$ aperto in $X\times Y$.+

      NO!

    4. Non pu esistere $x\in X$ tale che il sottoinsieme $\{x\} \times Y \subset X\times Y$ sia aperto in $X\times Y$.+

      NO!

  3. La funzione $f\colon [0,2\pi) \to S^1 \subset \mathbb{C}$ definita ponendo $f(t) = e^{i t}$ per ogni $t\in [0,2\pi)$
    1. una funzione continua e biunivoca, ma non una mappa aperta.+

      S!

    2. una funzione continua, biunivoca e aperta.+

      NO!

    3. una funzione biunivoca, aperta ma non continua.+

      NO!

    4. una funzione continua, biunivoca e chiusa.+

      NO!