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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Settimana 6 - Gruppi di trasformazioni
  1. Sia $G=GL(2,\mathbb{R})$ il gruppo delle matrici invertibili $2\times 2$ a coefficienti in $\mathbb{R}$. Allora $G$:
    1. compatto e connesso.+

      NO!
      Non connesso: infatti se fosse connesso l'immagine di $G$ mediante la funzione continua determinante in $\mathbb{R}$ sarebbe un connesso. Ma l'immagine $\mathbb{R}-\{0\}$, che non connesso. Non nemmeno compatto: le matrici diagonali $\begin{bmatrix}n&0\\0&n\end{bmatrix}$, se $n\to \infty$, non sono contenute in nessun intorno circolare fissato della matrice nulla, e quindi $GL(2,\mathbb{R})$ non limitato: quindi non pu essere compatto per il Teorema di Heine-Borel.

    2. non connesso e non compatto.+

      S!

    3. compatto e non connesso.+

      NO!
      Non compatto: le matrici diagonali $\begin{bmatrix}n&0\\0&n\end{bmatrix}$, se $n\to \infty$, non sono contenute in nessun intorno circolare fissato della matrice nulla, e quindi $GL(2,\mathbb{R})$ non limitato: quindi non pu essere compatto per il Teorema di Heine-Borel.

    4. connesso e non compatto.+

      NO!
      Non connesso: infatti se fosse connesso l'immagine di $G$ mediante la funzione continua determinante in $\mathbb{R}$ sarebbe un connesso. Ma l'immagine $\mathbb{R}- \{0\}$, che non connesso.

  2. Il gruppo topologico $SO(2)$ omeomorfo:
    1. alla circonferenza unitaria $S^1$.+

      S!

    2. all'unione disgiunta di due circonferenze $S^1\sqcup S^1$.+

      NO!
      $SO(2)$ connesso!

    3. al disco aperto $D = \{ z\in \mathbb{C} : |z| \lt 1\}$.+

      NO!
      Il disco aperto non compatto ma $SO(2)$ lo !

    4. all'intervallo $[0,2\pi )$.+

      NO!
      L'intervallo $[0,2\pi)$ non compatto, mentre $SO(2)$ lo !

  3. Se $A\in SO(3)$ una matrice di rotazione diversa dalla matrice identit $I$, allora:
    1. Esiste uno e un solo autovalore reale di $A$.+

      NO!

    2. Esiste $n\in \mathbb{Z}$ tale che $A^n = I$.+

      NO!

    3. Il numero $1$ certamente autovalore di $A$.+

      S!

    4. Esistono due autovalori distinti complessi coniugati.+

      NO!

  4. Consideriamo la successione $\{x_n\}$ di matrici definita da \[ \begin{cases} x_0 &= I \\ x_n &= A^n + x_{n-1} \text{\ se\ } n\geq 1 \end{cases} \] dove $A = \begin{bmatrix}1/2 & 1 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$ e $I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$. Allora $x_n$ per ogni $n$ uguale a
    1. $\begin{bmatrix}2&4\\0&2\end{bmatrix} - 2^{-n} \begin{bmatrix} 1 & (2n+4) \\ 0& 1 \end{bmatrix}$.+

      S!

    2. $\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix} - 2^{-n} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.+

      NO!

    3. $\begin{bmatrix}2&-1\\0&2\end{bmatrix} + 2^{-n} \begin{bmatrix} 1 & 2^n(n+1) \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.+

      NO!

    4. $\begin{bmatrix}2&4\\0&2\end{bmatrix} + 2^{-n} \begin{bmatrix} 1 & 2^n(n-4) \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.+

      NO!

  5. Il gruppo $SO(3)$ composto da tutte le matrici $3\times 3$ a coefficienti reali $A$ tali che:
    1. $\det A = 1$.+

      NO!

    2. $\det A \in \{\pm 1 \}$.+

      NO!

    3. $A^t A = A A^t = I $.+

      NO!

    4. $A^t A = A A^t = I$ e $\det A = 1$.+

      S!