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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Settimana 2 - Omeomorfismi di spazi topologici
  1. Sia $p$ la proiezione $p\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $p(x,y) = x$. Siano $A\subset \mathbb{R}^2$ un aperto e $C\subset \mathbb{R}^2$ un chiuso, entrambi non vuoti. Allora:
    1. $p(A)$ un aperto ma $p(C)$ pu non essere un chiuso.+

      S!

    2. $p(C)$ un chiuso ma $p(A)$ pu non essere un aperto.+

      NO!
      La proiezione una mappa aperta: $p(A)$ necessariamente aperto.

    3. $p(C)$ sempre chiuso e $p(A)$ sempre aperto.+

      NO!
      Se per esempio $C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : xy=1\}$, allora $C$ chiuso ma $p(C) = \mathbb{R}- \{0\}$ non chiuso.

    4. $p(C)$ pu non essere chiuso e $p(A)$ pu non essere aperto.+

      NO!
      La proiezione una mappa aperta: $p(A)$ necessariamente aperto.

  2. Se $X$ e $Y$ sono due spazi topologici, e il prodotto $X\times Y$ ha la topologia prodotto:
    1. Se $U\subset X\times Y$ aperto di $X\times Y$, allora esistono $A\subset X$ e $B\subset Y$ entrambi aperti tali che $U=A\times B$.+

      NO!

    2. Se $A\subset X$ e $B\subset Y$ sono entrambi aperti allora $U=A\times B$ aperto in $X\times Y$.+

      S!

    3. Per ogni $x\in X$ il sottoinsieme $\{x\} \times Y \subset X\times Y$ aperto in $X\times Y$.+

      NO!

    4. Non pu esistere $x\in X$ tale che il sottoinsieme $\{x\} \times Y \subset X\times Y$ sia aperto in $X\times Y$.+

      NO!

  3. La funzione $f\colon [0,2\pi) \to S^1 \subset \mathbb{C}$ definita ponendo $f(t) = e^{i t}$ per ogni $t\in [0,2\pi)$
    1. una funzione continua e biunivoca, ma non una mappa aperta.+

      S!

    2. una funzione continua, biunivoca e aperta.+

      NO!

    3. una funzione biunivoca, aperta ma non continua.+

      NO!

    4. una funzione continua, biunivoca e chiusa.+

      NO!

  4. Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici. Quale delle seguenti propriet di una funzione $f\colon X \to Y$ non equivalente alla continuit di $f$?
    1. Per ogni sottoinsieme $A\subset X$, $y \in f(\overline{A}) \Longrightarrow y \in \overline{f(A)}$.+

      NO!
      Sappiamo che una funzione continua se e soltanto se per ogni $A\subset X$ si ha che $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$. E questa propriet equivalente al fatto che per ogni $A\subset X$, se $y\in f(\overline{A})$ allora $y\in \overline{f(A)}$.

    2. Per ogni $C\subset Y$ chiuso in $Y$, se $x\in X$ di accumulazione per $f^{-1}(C)$, allora $f(x) \in C$.+

      NO!
      Sappiamo che la funzione $f$ continua se e soltanto se la controimmagine di un chiuso (qualsiasi) di $Y$ un chiuso di $X$. Ma la controimmagine $f^{-1}(C)$ del chiuso $C\subset Y$ un chiuso in $X$ se e soltanto se $f^{-1}(C)$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione, cio se e soltanto se i punti di accumulazione di $f^{-1}(C)$ hanno immagine $f(x) \in C$.

    3. Se $\mathcal{B}$ una base per $Y$, allora per ogni elemento $B$ della base $\mathcal{B}$ la controimmagine $f^{-1}(B)\subset X$ un aperto di $X$.+

      NO!

    4. Per ogni sottoinsieme $A\subset X$, se $x\in X$ di accumulazione per $A$, allora $f(x)$ di accumulazione per $f(A)\subset Y$.+

      S!
      Se la propriet vera, allora per ogni $A\subset X$ si ha che $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$, e quindi la funzione $f$ continua. Per non vero il viceversa: una funzione potrebbe essere continua senza che questa propriet valga. Basta prendere $X=Y=\mathbb{R}$, e $f$ costante $f(x) = 0$ per ogni $x\in X$. una funzione continua. Si prenda $A=(0,1)\subset \mathbb{R}$. Allora $1$ di accumulazione per $A$. L'immagine $f(A) \subset Y$ uguale a $f(A) = \{0\}$, che non ha punti di accumulazione in $Y=\mathbb{R}$. Quindi $f(1)$ non un punto di accumulazione per $f(A)$, dato che $0$ non punto di accumulazione per $\{0\}$.

  5. Sia $X$ uno spazio topologico e $Z\subset X$ un suo sottoinsieme. La topologia indotta da $X$ su $Z$ quella per cui gli aperti di $Z$ sono:
    1. Le intersezioni di aperti di $X$ con il sottoinsieme $Z$.+

      S!

    2. Gli aperti di $X$ che sono contenuti in $Z$.+

      NO!

    3. I sottoinsiemi di $Z$ il cui complementare in $Z$ chiuso in $X$.+

      NO!

    4. I sottoinsiemi di $Z$ il cui complementare in $X$ chiuso in $X$.+

      NO!

  6. Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici, e $p\colon X\times Y \to X$ la proiezione sulla prima componente, dove $X\times Y$ ha la topologia prodotto. Quali delle seguenti affermazioni vera?
    1. La mappa $p$ una mappa quoziente, cio $X$ ha la topologia quoziente indotta dalla mappa $p$.+

      S!
      Se $A\subset X$ aperto in $X$, allora $p^{-1} A = A \times Y$ aperto in $X\times Y$, per definizione di topologia prodotto di $X\times Y$. Viceversa, se $p^{-1}A = A\times Y$ aperto in $X\times Y$, allora $A$ aperto in $Y$ (perch immagine dell'aperto $A\times Y$ mediante la mappa aperta $p$). Quindi $A\subset X$ aperto se e soltanto se $p^{-1}A$ aperto in $X\times Y$.

    2. La mappa $p$ necessariamente una mappa chiusa.+

      NO!
      Basta considerare il chiuso $\{xy=1\}\subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, che viene proiettato sul non-chiuso $\mathbb{R}-\{0\} \subset \mathbb{R}$.

    3. Se $X$ uno spazio compatto, allora $p$ una mappa chiusa.+

      NO!
      Prendiamo $X=[0,1]$, e $Y=\mathbb{R}$. Il chiuso $C=\{ (x,y) \in X\times Y : xy=1\}$ ha per immagine $(0,1]\subset X$, che non chiuso in $X$.

    4. Se $X\times Y$ non uno spazio di Hausdorff, allora $X$ non uno spazio di Hausdorff.+

      NO!
      Sia $X$ di Hausdorff e $Y$ non di Hausdorff. Allora $X\times Y$ non di Hausdorff. Infatti, se $Y$ non di Hausdorff, allora esistono due punti $a,b\in Y$, con $a\neq b$, tali che per ogni intorno $U_a$ di $a$ in $Y$ e ogni intorno $U_b$ di $b$ in $Y$ si ha $U_a \cap U_b \neq \emptyset$. Ora, sia $x_0\in X$ un punto arbitrario. Allora i due punti $(x_0,a)$ e $(x_0,b)$ in $X\times Y$ non possono avere intorni disgiunti: se ce li avessero dovrebbero esistere $V_a\times U_a$ e $V_b\times U_b$ in $X\times Y$, con $U_a,U_b$ aperti in $Y$ e $V_a,V_b$ aperti in $X$ tali che $a\in U_a$, $b\in U_b$, $x_0\in V_a$ e $x_0\in V_b$. Ma allora per poter essere disgiunti dovrebbe essere $U_a\cap U_b=\emptyset$, il che non possibile.

  7. Sia $X=[0,1)\subset \mathbb{R}$, e $Y=\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$, entrambi con la topologia metrica (indotta da quella di $\mathbb{R}$). Sia $f\colon X\times Y \to \mathbb{R}$ la funzione definita da $f(t,k) = t+k$. Allora:
    1. La funzione $f$ un omeomorfismo.+

      NO!
      La funzione $f$ continua e biunivoca. Ma non aperta: $[0,1) \times \{0\}$ un aperto di $X\times Y$, ma $f([0,1)\times \{0\}) = [0,1) \subset \mathbb{R}$ non un aperto di $\mathbb{R}$.

    2. La funzione $f$ una mappa quoziente, cio $\mathbb{R}$ ha la topologia quoziente indotta da $f$.+

      NO!
      Se $\mathbb{R}$ avesse la topologia quoziente, allora $[0,1)\subset \mathbb{R}$ dovrebbe essere aperto in $\mathbb{R}$, dato che la sua controimmagine un aperto di $[0,1)\times \mathbb{Z}$.

    3. La funzione $f$ non una mappa chiusa.+

      S!
      La funzione $f$ continua e biunivoca. Ma non chiusa: $[0,1) \times \{0\}$ un chiuso di $X\times Y$, ma $f([0,1)\times \{0\}) = [0,1) \subset \mathbb{R}$ non un chiuso di $\mathbb{R}$.

    4. La funzione $f$ continua e biunivoca, e per ogni $K\subset \mathbb{R}$ compatto, la sua controimmagine $f^{-1}(K) \subset X\times Y$ un compatto.+

      NO!
      Sia $K=[0,1] \subset \mathbb{R}$. La sua controimmagine uguale a \[ f^{-1}(K) = \left( [0,1) \times \{0\} \right) \cup \left( \{0\} \times \{1\} \right). \] Se fosse compatto, dovrebbe essere compatto anche la sua intersezione con $X\times \{0\}$, cio $[0,1) \times \{0\}$. Ma questo non compatto, perch omeomorfo a $[0,1)$ che non compatto.