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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Settimana 1 - Spazi metrici e topologia
  1. Se $A$ un sottoinsieme di uno spazio metrico $X$ (qualsiasi), allora
    1. Ogni punto interno ad $A$ anche nella chiusura di $A$.+

      S!

    2. Ogni punto interno ad $A$ di accumulazione per $A$.+

      NO!
      Consideriamo lo spazio $X=\{0,1\}$ con la metrica euclidea, e $A=\{0\}$. Allora $0$ un punto interno ad $A$, ma non di accumulazione per $A$: l'intorno di raggio $1/2$ e centro $0$ non ha altri punti di $A$ oltre a $0$.

    3. Ogni punto di accumulazione di $A$ interno ad $A$.+

      NO!
      Si consideri $A=(0,1)\subset \mathbb{R}$: i punti $0$ e $1$ sono di accumulazione ma non sono interni (non appartengono nemmeno ad $A$).

    4. Ogni punto della chiusura di $A$ interno ad $A$.+

      NO!
      Si consideri $A=(0,1)\subset \mathbb{R}$: i punti $0$ e $1$ sono di accumulazione, e quindi stanno nella chiusura, ma non sono interni (non appartengono nemmeno ad $A$).

  2. Se $\tau$ una topologia per un insieme $X$ con $n\geq 3$ elementi, allora:
    1. $\tau$ ha almeno 4 elementi.+

      NO!
      La topologia banale ha solo due aperti, quindi due elementi.

    2. $\tau$ non pu avere pi di $2n$ elementi.+

      NO!
      La topologia discreta, se $n\geq 3$, ha $2^n$ aperti, che maggiore di $2n$.

    3. $\tau$ non pu avere meno di 2 elementi.+

      S!
      Giusto: infatti almeno l'insieme vuoto e $X$ sono in $\tau$.

    4. Non si possono contare gli elementi di $\tau$, perch un sottoinsieme dell'insieme delle parti $2^X$ di $X$.+

      NO!
      Anche l'insieme delle parti un insieme, i cui elementi sono i sottoinsiemi di $X$.

  3. Se $A\subset X$ un sottoinsieme di uno spazio topologico $X$, allora $x\in X$ un punto di accumulazione per $A$ in $X$ se:
    1. In ogni intorno aperto $U$ di $x$ in $X$ ci sono punti di $A$ diversi da $x$.+

      S!

    2. In ogni intorno aperto $U$ di $x$ in $X$ ci sono punti di $A$.+

      NO!
      Si devono avere punti diversi da $x$: in questo caso un punto isolato non di accumulazione, ma verifica la propriet.

    3. Ogni intorno aperto $U$ di $x$ in $A$ non-vuoto.+

      NO!
      Se $x\in A$, allora ogni intorno aperto di $x$ in $A$ non vuoto, ma questo non vuol dire che $x$ di accumulazione (potrebbe essere isolato).

    4. Per ogni intorno $U$ di $x$ in $X$ si ha $U\cap A \neq \emptyset$.+

      NO!
      Se $x\in A$ un punto isolato, allora $U\cap A\neq \emptyset$, dato che contiene $x$; ma non di accumulazione.

  4. Una famiglia di sottoinsiemi $\mathcal{B} \subset 2^X$ di un insieme $X$ si dice base se e soltanto se $X = \bigcup_{B\in \mathcal{B}} B$ e
    1. $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}$, $x\in B_1\cap B_2$ $\Longrightarrow $ $\exists B_x \in \mathcal{B}$ tale che $x\in B_x \subset B_1 \cap B_2$.+

      S!

    2. $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}$, $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{B}$.+

      NO!
      Si pensi agli intorni circolari in $\mathbb{R}^2$: l'intersezione di dischi non necessariamente un disco.

    3. $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}$, $B_1 \cup B_2 \in \mathcal{B}$.+

      NO!
      Si pensi agli intorni circolari in $\mathbb{R}^2$: l'unione di dischi non necessariamente un disco.

    4. $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}$, $x\in B_1\cup B_2$ $\Longrightarrow $ $\exists B_x \in \mathcal{B}$ tale che $x\in B_x \subset B_1 \cup B_2$.+

      NO!
      Questo sarebbe vero sempre: basta prendere $B_x = B_1$ oppure $B_x=B_2$.

  5. Se $\{A_i\}_{i\in J}$ una famiglia di sottoinsiemi aperti $A_i \subset X$ di uno spazio topologico $X$, allora:
    1. L'intersezione $\bigcap_{i\in J} A_i$ sempre un aperto di $X$.+

      NO!

    2. L'intersezione $\bigcap_{i\in J} A_i$ sempre un aperto di $X$ se l'insieme degli indici $J$ numerabile.+

      NO!

    3. L'intersezione $\bigcap_{i\in J} A_i$ sempre un aperto di $X$ se l'insieme $J$ ha un numero finito di elementi.+

      S!

    4. L'intersezione $\bigcap_{i\in J} A_i$ non pu essere un aperto di $X$ se l'insieme $J$ non ha un numero finito di elementi.+

      NO!

  6. Se $X=\mathbb{R}$ ha la topologia euclidea e $A\subset X$ un suo sottoinsieme numerabile (con una infinit numerabile di elementi), allora
    1. $A$ non pu essere chiuso.+

      NO!

    2. $A$ non pu essere aperto.+

      S!

    3. Ogni elemento di $A$ isolato in $X$.+

      NO!

    4. La chiusura di $A$ uguale a $X$.+

      NO!

  7. Sia $X=\mathbb{Z}$, e $\tau \subset 2^X$ l'insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di $X$ con complementare finito, unita all'insieme $X$ e all'insieme vuoto.
    1. $\tau$ una topologia per $X$ ed una base per una topologia su $X$.+

      S!

    2. $\tau$ una base per una topologia di $X$, ma non una topologia per $X$.+

      NO!

    3. $\tau$ una topologia per $X$, ma non una base per una topologia di $X$.+

      NO!

    4. $\tau$ non n una base n una topologia su $X$.+

      NO!