1. Sia $G$ il gruppo di tutte le affinità di $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$, e $X$ l'insieme di tutte le rette di $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$, su cui $G$ agisce in modo naturale. Allora:
    1. l'azione di $G$ su $X$ è transitiva.+

      SÌ!

    2. lo stabilizzatore (sottogruppo di isotropia) di una retta è sempre il sottogruppo banale.+

      NO!
      Esistono certamente trasformazioni affini che mandano una retta in sé (per esempio traslazioni lungo la direzione della retta).

    3. per ogni $g\in G$ e per ogni $x\in X$ si ha che $x$ e $gx$ sono parallele.+

      NO!
      Le rotazioni sono in particolare affinità, e non può accadere che una retta e la sua immagine ruotata (di angolo diverso da $k\pi$) siano parallele.

    4. per ogni $g$ esiste una retta $x\in X$ tale che $x$ e $gx$ sono parallele.+

      NO!
      Se $g$ è per esempio una rotazione di $\pi/2$, allora $x$ e $gx$ non sono mai parallele. L'affermazione è equivalente a chiedere che ogni matrice $2\times 2$ ha un autovettore, e questo è falso.

  2. Sia $f\colon \mathbb{E}^3 \to \mathbb{E}^3$ una isometria dello spazio euclideo $\mathbb{E}^3$. Allora:
    1. esiste $x\in \mathbb{E}^3$ tale che $f(x) = x$.+

      NO!
      No: basta prendere una traslazione.

    2. esiste una retta $l\subset \mathbb{E}^3$ tale che per ogni $x\in l$ si ha $f(x) = x$.+

      NO!
      No: basta prendere una traslazione.

    3. esiste un riferimento affine euclideo nel quale si scrive $f(x) = Ax + b$, con $A\in SO(3)$ e $b$ vettore di $\mathbb{R}^3$.+

      NO!
      No: queste sono le isometrie dirette, non tutte le isometrie.

    4. esiste un riferimento affine euclideo nel quale si scrive $f(x) = Ax + b$, con $A\in O(3)$ e $b$ vettore di $\mathbb{R}^3$.+

      SÌ!

  3. Se $Q$ è un punto di uno spazio affine euclideo $\mathbb{E}^n$, con $n\geq 4$, e $S\subset \mathbb{E}^n$ un piano che non passa per $Q$, allora
    1. esiste unica la retta per $Q$ ortogonale (e incidente) a $S$.+

      SÌ!

    2. ci sono esattamente $n-2$ rette distinte per $Q$ ortogonali (e incidenti) a $S$.+

      NO!
      Due rette per $Q$ ortogonali a $S$ sarebbero i lati di un triangolo con due angoli di $\pi/2$!

    3. potrebbe non esistere una retta per $Q$ ortogonale a $S$ e incidente con $S$.+

      NO!
      La proiezione ortogonale $Q'$ di $Q$ su $S$ esiste, ed è tale che la retta $QQ'$ è ortogonale a $S$.

    4. esistono infinite rette passanti per $Q$ e ortogonali (e incidenti) a $S$.+

      NO!
      Se anche ce ne fossero due, due rette per $Q$ ortogonali a $S$ sarebbero i lati di un triangolo con due angoli di $\pi/2$! Quindi ne esiste una sola, mentre $n-2$ è sempre almeno $2$ se $n\geq 4$.

  4. Se $f\colon \mathbb{E}^n \to \mathbb{E}^n$ è un isomorfismo affine, allora
    1. $f$ è una isometria se e soltanto se l'applicazione lineare associata $\vec{f}$ è una trasformazione ortogonale.+

      SÌ!

    2. $f$ è una isometria se e soltanto se l'applicazione lineare associata $\vec{f}$ è un elemento di $SO(n)$.+

      NO!
      No! Questa è la definizione di isometria diretta.

    3. $f$ è una isometria se e soltanto se l'applicazione associata $\vec{f}(v) = f(x_0+v) - f(x_0)$ è lineare per ogni $x_0\in X$.+

      NO!
      No! Questa sarebbe sempre lineare, dato che $f$ è affine.

    4. $f$ è una isometria se e soltanto se l'applicazione lineare associata $\vec{f}$ è invertibile.+

      NO!
      No! Questa sarebbe sempre invertibile, dato che $f$ è un isomorfismo affine!

  5. Siano $r$ e $l$ due rette di $\mathbb{E}^4$ non complanari. Il numero di rette ortogonali (e incidenti) sia a $r$ che a $l$ è:
    1. $1$.+

      SÌ!

    2. un numero finito maggiore di $1$.+

      NO!

    3. $0$.+

      NO!

    4. infinito.+

      NO!

  6. Se $f\colon \mathbb{E}^n \to \mathbb{E}^n$ è una isometria, allora:
    1. $f$ è una affinità.+

      SÌ!

    2. $f$ è una rotazione.+

      NO!

    3. $f$ è una rotazione oppure una riflessione.+

      NO!

    4. $f$ è una proiettività.+

      NO!

  7. Se $f\colon \mathbb{E}^2 \to \mathbb{E}^2$ è una glissoriflessione, allora:
    1. $f$ è una isometria inversa.+

      SÌ!

    2. $f$ è coniugata a una rotazione.+

      NO!

    3. $f$ è una rotazione seguita da una traslazione.+

      NO!

    4. $f$ ha una retta di punti fissi.+

      NO!

  8. Siano $r$ e $l$ due rette di $\mathbb{E}^4$ non complanari. Il numero di rette ortogonali (e incidenti) sia a $r$ che a $l$ è:
    1. $1$.+

      SÌ!

    2. un numero finito maggiore di $1$.+

      NO!

    3. $0$.+

      NO!

    4. infinito.+

      NO!

  9. Se $f\colon \mathbb{E}^n \to \mathbb{E}^n$ è una isometria, allora:
    1. $f$ è una affinità.+

      SÌ!

    2. $f$ è una rotazione.+

      NO!

    3. $f$ è una rotazione oppure una riflessione.+

      NO!

    4. $f$ è una proiettività.+

      NO!