1. Lo spazio affine $S\subset \mathbb{A}^n(K)$ generato da $d+1$ punti $P_0$, $P_1$, $\ldots$, $P_d$ è:
    1. Il più piccolo sottospazio affine $S\subset \mathbb{A}^n(K)$ che contiene $P_j$ per ogni $j=0\ldots d$.+

      SÌ!

    2. Il più piccolo sottospazio affine $S\subset \mathbb{A}^n(K)$ di dimensione $d$ che contiene $P_j$ per ogni $j=0\ldots d$.+

      NO!
      Potrebbe non avere dimensione $d$, se i punti non sono indipendenti dal punto di vista affine.

    3. L'insieme delle combinazioni lineari dei vettori $\overrightarrow{P_0P_j}$ per $j=1\ldots d$.+

      NO!
      Lo spazio generato da punti è un sottospazio affine, non un sottospazio vettoriale della giacitura.

    4. La chiusura dell'insieme $\{P_0,P_1,\ldots, P_d\}$ in $\mathbb{A}^n(K)$ con la topologia metrica, se $K=\mathbb{R}$.+

      NO!
      Nella topologia metrica i punti sono chiusi, e quindi la chiusura dell'insieme $\{P_0,P_1,\ldots, P_d\}$ coincide con l'insieme stesso.

  2. Tre punti $A$, $B$ e $C$ di uno spazio affine $X$ su campo $K$ sono allineati se:
    1. esiste una retta $r$ tale che $A\in r$, $B\in r$ e $C\in r$.+

      SÌ!

    2. lo spazio affine generato da $A$, $B$ e $C$ ha dimensione $2$.+

      NO!
      No: questo vuol dire che NON sono allineati.

    3. lo spazio affine generato da $A$, $B$ e $C$ ha dimensione $1$.+

      NO!
      Tre punti coincidenti $A=B=C$ sono allineati o no?

    4. l'area del triangolo $ABC$ è zero.+

      NO!
      come si definisce l'area in uno spazio affine?

  3. Sia $G$ il gruppo di tutte le affinità, che agisce in modo naturale sull'insieme $X$, costituito da tutte le terne di tre punti distinti del piano affine complesso $\mathbb{A}^2(\mathbb{C})$.
    1. L'azione di $G$ su $X$ è fedele e transitiva.+

      NO!

    2. Lo stabilizzatore di un elemento generico $x\in X$ è un sottogruppo infinito di $G$.+

      NO!

    3. Esistono elementi di $X$ con stabilizzatore non banale.+

      SÌ!

    4. L'azione di $G$ su $X$ è transitiva ma non è fedele.+

      NO!

  4. Sia $X$ l'insieme di tutti i sottospazi affini di dimensione $1$ del piano affine reale $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$, $Y$ l'insieme di tutte le coppie di punti distinti di $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$, e $f\colon Y \to X$ la funzione che associa alla coppia di punti $(A,B) \in Y$ la unica retta per $A$ e $B$. La funzione $f$ è:
    1. biunivoca.+

      NO!

    2. suriettiva ma non iniettiva.+

      SÌ!

    3. iniettiva ma non suriettiva.+

      NO!

    4. non definita su tutto $Y$.+

      NO!

  5. Tre punti $A$, $B$, $C$ di uno spazio affine di dimensione $\geq 3$ giacciono su uno stesso piano se e solo se:
    1. I vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ sono linearmente indipendenti.+

      NO!

    2. I vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ non sono linearmente indipendenti.+

      NO!

    3. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.+

      SÌ!

    4. $A$, $B$ e $C$ non sono allineati.+

      NO!

  6. Il gruppo affine $GA(3,\mathbb{R})$ di tutte le affinità su $\mathbb{A}^3(\mathbb{R})$ :
    1. è l'insieme di tutte le matrici $3\times 3$ a coefficienti reali $A$ tali che $\det(A)=1$.+

      NO!

    2. è il gruppo generato da tutte le traslazioni e le omotetie di $\mathbb{A}^3(\mathbb{R})$.+

      NO!

    3. è isomorfo a $GL(3,\mathbb{R})$.+

      NO!

    4. agisce in modo transitivo su $\mathbb{A}^3(\mathbb{R})$.+

      SÌ!

  7. Tre punti $A$, $B$, $C$ dello spazio affine $\mathbb{A}^4(\mathbb{R})$ giacciono su una stessa retta (sono allineati) se e solo se:
    1. L'insieme dei piani passanti per $A$, $B$ e $C$ ha più di un elemento.+

      SÌ!

    2. L'insieme delle rette passanti per tutti e tre i punti $A$, $B$, $C$ ha più di un elemento.+

      NO!

    3. L'insieme degli spazi $3$-dimensionali che contengono $A$, $B$, e $C$ è vuoto.+

      NO!

    4. L'insieme dei punti allineati a tutte le coppie di punti scelti tra $A$, $B$ e $C$ costituisce una retta di $\mathbb{A}^4(\mathbb{R})$.+

      NO!

  8. Il gruppo affine $GA(3,\mathbb{R})$ di tutte le affinità su $\mathbb{A}^3(\mathbb{R})$ :
    1. è l'insieme di tutte le matrici $3\times 3$ a coefficienti reali $A$ tali che $\det(A)=1$.+

      NO!

    2. è il gruppo generato da tutte le traslazioni e le omotetie di $\mathbb{A}^3(\mathbb{R})$.+

      NO!

    3. è isomorfo a $GL(3,\mathbb{R})$.+

      NO!

    4. agisce in modo transitivo su $\mathbb{A}^3(\mathbb{R})$.+

      SÌ!