1. La funzione $f\colon [0,2\pi) \to S^1 \subset \mathbb{C}$ definita ponendo $f(t) = e^{i t}$ per ogni $t\in [0,2\pi)$
    1. una funzione continua e biunivoca, ma non una mappa aperta.+

      SÌ!

    2. una funzione continua, biunivoca e aperta.+

      NO!
      Se fosse biunivoca, continua e aperta sarebbe un omeomorfismo: ma $[0,2\pi)$ non compatto, dato che non chiuso in $\mathbb{R}$, mentre $S^1$ compatto. La compattezza una propriet topologica, per cui $f$ non un omeomorfismo.

    3. una funzione biunivoca, aperta ma non continua.+

      NO!
      La funzione $f$ continua.

    4. una funzione continua, biunivoca e chiusa.+

      NO!
      Se $f$ fosse continua, biunivoca e chiusa sarebbe un omeomorfismo, ma $[0,2\pi)$ non compatto, dato che non chiuso in $\mathbb{R}$, mentre $S^1$ compatto. La compattezza una propriet topologica, per cui $f$ non un omeomorfismo.

  2. Sia $X\subset [0,1] \subset \mathbb{R}$ un insieme infinito di numeri reali. Allora:
    1. Esiste $x\in X$ tale che $x\in \mathbb{Q}$ e $x$ di accumulazione per $X$ in $\mathbb{R}$.+

      NO!

    2. L'insieme $X$ non pu essere chiuso in $\mathbb{R}$.+

      NO!

    3. L'insieme dei punti di accumulazione di $X$ in $\mathbb{R}$ non pu essere finito.+

      NO!

    4. L'insieme dei punti di accumulazione di $X$ in $\mathbb{R}$ non pu essere vuoto.+

      SÌ!

  3. Sia $X= \{ x\in \mathbb{C} \ : \ x^4 \in \mathbb{Q} \}$. Allora:
    1. $X$ compatto.+

      NO!

    2. $X$ non compatto.+

      SÌ!

    3. La chiusura di $X$ in $\mathbb{C}$ omeomorfa a $\mathbb{R}$.+

      NO!

    4. $X$ un sottospazio chiuso di $\mathbb{C}$.+

      NO!

  4. Quali delle seguenti propriet non equivalente alla compattezza, per uno spazio metrico $X$ con la topologia metrica?
    1. Ogni insieme infinito di punti di $X$ ha (almeno) un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

    2. Ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente.+

      NO!

    3. $X$ chiuso e limitato.+

      SÌ!

    4. Ogni insieme con una infinit numerabile di punti di $X$ ha (almeno) un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

  5. Sia $X$ uno spazio metrico con la topologia metrica, non necessariamente euclideo. Quali delle seguenti propriet non equivalente alla compattezza?
    1. Ogni insieme infinito di punti di $X$ ha (almeno) un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

    2. Ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente.+

      NO!

    3. $X$ limitato e chiuso.+

      SÌ!

    4. Ogni insieme numerabile di punti di $X$ ha (almeno) un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

  6. Sia $X$ uno spazio metrico. Allora:
    1. Se $X$ compatto e $\{x_n\}$ una successione in $X$, allora esiste una sottosuccessione convergente di $\{x_n\}$, ma in genere non vero il viceversa. Se $X\neq \mathbb{R}^n$, potrebbe capitare che $X$ compatto per successioni ma non compatto.+

      NO!
      Se $X$ metrico, allora compattezza e compattezza per successioni sono propriet equivalenti.

    2. $X$ compatto se e solo se ogni successione $\{x_n\}$ in $X$ convergente.+

      NO!
      Basta prendere $X=[0,1]$ e $x_n= n \mod 2$: una successione in $X$ non convergente.

    3. $X$ compatto se e soltanto se ogni insieme infinito di punti di $X$ ha un punto limite in $X$.+

      SÌ!

    4. Se $X$ non compatto, e $\{x_n\}$ una successione in $X$, allora $\{x_n\}$ non pu avere sottosuccessioni convergenti.+

      NO!
      Basta prendere una successione costante (che converge).

  7. Il Lemma di Lebesgue dice che:
    1. Se $X$ uno spazio metrico compatto e $\{U_\alpha\}$ un ricoprimento aperto di $X$, allora per ogni $x\in X$ esiste $\delta\gt 0$ tale che esiste $\alpha$ tale che \[ x\in B_\delta(x) \subset U_\alpha. \]+

      NO!

    2. Se $X$ uno spazio metrico compatto e $\{U_\alpha\}$ un ricoprimento aperto di $X$, allora esiste un numero $\delta\gt 0$ tale che per ogni $x\in X$ esiste $\alpha$ tale che \[ x\in B_\delta(x) \subset U_\alpha. \]+

      SÌ!

    3. Se $X$ uno spazio metrico compatto e $\{U_\alpha\}$ un ricoprimento aperto di $X$, allora esistono un numero $\delta\gt 0$ ed un elemento $x\in X$ tali che esiste $\alpha$ tale che \[ x\in B_\delta(x) \subset U_\alpha. \]+

      NO!

    4. Se $X$ uno spazio metrico e $\{U_\alpha\}$ un ricoprimento aperto di $X$, allora esiste un numero $\delta\gt 0$ tale che per ogni $x\in X$ esiste $\alpha$ tale che \[ x\in B_\delta(x) \subset U_\alpha. \]+

      NO!

  8. Quali delle seguenti affermazioni a proposito di sottospazi di $\mathbb{Q}$ sono vere?
    1. Gli intervalli chiusi $[a,b]\subset \mathbb{Q}$, con $a,b\in \mathbb{Q}$ e $a\lt b$ sono tutti compatti.+

      NO!
      Ogni intervallo del genere contiene numeri irrazionali, e quindi successioni che convergono a tali numeri irrazionali. Dunque non possono essere compatti per successioni, n compatti.

    2. Non ci sono sottospazi compatti di $\mathbb{Q}$ con un numero infinito di elementi.+

      NO!
      Consideriamo l'insieme $X=\{0\} \cup \{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}, n\geq 1 \}$. Contiene i suoi punti di accumulazione, e quindi chiuso (sia in $\mathbb{R}$ che in $\mathbb{Q}$). Come sottospazio di $\mathbb{R}$ chiuso e limitato, quindi compatto. Ma non ha un numero finito di elementi.

    3. Gli unici sottoinsiemi compatti di $\mathbb{Q}$ sono gli insiemi con un singolo elemento (cio i punti).+

      NO!
      Un sottospazio con due elementi distinti, per esempio $\{0,1\}$, compatto.

    4. Se $X\subset \mathbb{Q}$ compatto, allora non esistono punti interni a $X$.+

      SÌ!

    5. Se $X\subset \mathbb{Q}$ infinito e compatto, allora non pu avere la topologia discreta.+

      SÌ!
      Questo vale per tutti i compatti: un compatto con la topologia discreta ha un numero finito di punti.

  9. Sia $X$ uno spazio metrico. Allora:
    1. Un sottospazio $C\subset X$ compatto se e soltanto se chiuso e limitato.+

      NO!
      Questo vero per $X=\mathbb{R}^n$, in generale le due propriet non sono equivalenti. Infatti, se $X=\mathbb{Q}$, ci sono chiusi e limitati che non sono compatti: per esempio $\{x\in \mathbb{Q} : 0\leq x\leq 1\}$ chiuso in $\mathbb{Q}$ e limitato, ma non compatto.

    2. Se un sottospazio $C\subset X$ non chiuso oppure non limitato, allora non compatto.+

      SÌ!

    3. Se un sottospazio $C\subset X$ non compatto, allora non chiuso e non limitato.+

      NO!
      Se $X=\mathbb{Q}$, ci sono sottospazi non compatti che sono chiusi in $X$ ma non limitati (per esempio $C=X$), e anche sottospazi non compatti che sono limitati ma non chiusi (per esempio $C=(0,1)\subset X$).

    4. Se un sottospazio $C\subset X$ non compatto, allora non chiuso oppure non limitato.+

      NO!
      Questa equivalente a dire che se $C$ chiuso e limitato, allora $C$ compatto. una implicazione che vale solo in $\mathbb{R}^n$.

  10. Vero o falso? Un sottospazio $X\subset \mathbb{R}$ (con la topologia metrica) compatto se e soltanto se ogni funzione continua $f\colon X \to \mathbb{R}$ ha massimo e minimo.
    1. Vero+

      SÌ!

    2. Falso+

      NO!
      Se $X$ compatto, allora ogni funzione continua ha massimo e minimo. Viceversa, se $X$ non compatto, allora o non chiuso in $\mathbb{R}$, oppure non limitato. Se $X$ non limitato, allora la funzione $f$ definita da \[ f(x) = x \] non pu avere sia massimo che minimo (altrimenti $X$ sarebbe limitato). Se invece $X$ limitato ma non chiuso in $\mathbb{R}$, esiste un punto di accumulazione $\overline{x}$ di $X$ in $\mathbb{R}$ che non appartiene a $X$. La funzione \( f \colon X \to \mathbb{R} \) definita da $f(x) = (x-\bar x)^2$ continua in $X$, ma l'estremo inferiore dell'insieme dei valori assunti da $f$ $0$ (perch $\bar x$ di accumulazione), senza che esista $x\in X$ tale che $f(x) = 0$ (si ha $f(x) = 0 \Longrightarrow x=\bar x$).