1. Siano $R_1$ e $R_2$ le due relazioni di equivalenza su $\mathbb{R}$ definite per ogni $x,y\in \mathbb{R}$ da \[ x R_1 y \iff x-y \in \mathbb{Q} \qquad x R_2 y \iff x-y \in \mathbb{Z} \] e $X=\mathbb{R}/R_1$, e $Y=\mathbb{R}/R_2$. Allora
    1. $X$ e $Y$ sono di spazi di Hausdorff.+

      NO!
      Lo spazio $X$ non di Hausdorff: $U\subset X$ un aperto se e soltanto se $U$ un insieme di classi di equivalenza la cui unione un aperto in $\mathbb{R}$. Ma l'unico aperto di $\mathbb{R}$ che contiene $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ stesso, e quindi ogni classe di equivalenza contenuta in un solo aperto di $\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ stesso), da cui segue che $X$ ha la topologia banale e non pu essere Hausdorff dato che non ha un solo elemento (esistono numeri irrazionali).

    2. $X$ di Hausdorff e $Y$ non di Hausdorff.+

      NO!
      Lo spazio $X$ non di Hausdorff: $U\subset X$ un aperto se e soltanto se $U$ un insieme di classi di equivalenza la cui unione un aperto in $\mathbb{R}$. Ma l'unico aperto di $\mathbb{R}$ che contiene $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ stesso, e quindi ogni classe di equivalenza contenuta in un solo aperto di $\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ stesso), da cui segue che $X$ ha la topologia banale e non pu essere Hausdorff dato che non ha un solo elemento (esistono numeri irrazionali). Invece $Y$ di Hausdorff: omeomorfo a $S^1$, che di Hausdorff perch metrico.

    3. $Y$ di Hausdorff e $X$ non di Hausdorff.+

      SÌ!

    4. $X$ e $Y$ non sono spazi di Hausdorff.+

      NO!
      vero, $X$ non di Hausdorff; per $Y$ lo : omeomorfo a $S^1$, che di Hausdorff perch metrico.

  2. Sia $X$ uno spazio topologico con la topologia discreta.
    1. $X$ compatto se e soltanto se $X$ finito.+

      SÌ!

    2. Se $X$ compatto, allora $X$ finito, ma se $X$ finito non detto che $X$ sia compatto.+

      NO!
      Se uno spazio $X$ finito, allora anche l'insieme delle parti $2^X$ finito, e quindi l'insieme degli aperti di $X$ finito. Quindi ogni ricoprimento aperto di $X$ gi finito, ed ammette se stesso come sottoricoprimento finito.

    3. Se $X$ finito, allora $X$ compatto, ma se $X$ compatto non detto che sia finito.+

      NO!
      Se $X$ ha la topologia discreta, allora i suoi punti sono aperti. La famiglia di tutti i sottoinsiemi di $X$ con un elemento solo quindi un ricoprimento aperto di $X$. Tali aperti sono tutti disgiunti, e questo ricoprimento non ammette sottoricoprimenti. Ma deve ammettere un sottoricoprimento finito, che deve essere s stesso, cio l'insieme di tutti gli elementi di $X$ deve essere finito, cio $X$ finito.

    4. Se $X$ non compatto, allora non pu avere un numero finito di elementi; ma se $X$ compatto, pu avere un numero infinito di elementi.+

      NO!
      vero che se $X$ non compatto, allora non pu avere un numero finito di elementi (equivale ad affermare che se ha un numero finito di elementi, allora compatto). Ma se ha un numero infinito di elementi, non pu essere compatto: gli spazi discreti compatti sono tutti finiti.

  3. Sia $X$ uno spazio topologico compatto. Quali delle seguneti sono vere?
    1. Se $C\subset X$ un sottospazio compatto, allora chiuso in $X$.+

      NO!

    2. Se $C\subset X$ un sottospazio chiuso, allora compatto.+

      SÌ!

    3. Se $C\subset X$ un sottospazio compatto, e $x$ un punto di accumulazione di $C$ in $X$, allora $x\in C$.+

      NO!
      Sappiamo che sottospazi compatti di spazi di Hausdorff sono chiusi, per cui l'affermazione vera se $X$ di Hausdorff. Se non lo : prendiamo $X=\{0,1\}$ con la topologia banale, e $C=\{0\} \subset X$. Entrambi sono compatti. Ma $C$ non chiuso in $X$: l'unico chiuso di $X$ non vuoto $X$.

    4. Se $C\subset X$ un sottospazio compatto, allora non pu essere aperto in $X$.+

      NO!
      Sia $X=\{0,1\}$ con la topologia discreta, e $C=\{0\}$. La topologia discreta, e quindi $C$ aperto in $X$. Ma ha anche un numero solo elemento, e quindi compatto.

    5. Se $C\subset X$ non compatto, allora non nemmeno chiuso.+

      SÌ!
      Se fosse chiuso, sarebbe chiuso di un compatto, e quindi compatto.

  4. Vero o falso? Se $X$ uno spazio di Hausdorff, e $C\subset X$ un sottospazio compatto, allora $C$ chiuso in $X$.
    1. Vero.+

      SÌ!

    2. Falso.+

      NO!
      Per mostrare che falso che falso, basta dimostrare che vero, cio che ogni sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff un chiuso (vedi note delle lezioni).

  5. Quali delle seguenti sono vere?
    1. L'immagine di un compatto mediante una funzione continua sempre un compatto.+

      SÌ!

    2. L'immagine di un aperto mediante una funzione continua sempre un aperto.+

      NO!
      La funzione $\{0\} \to \mathbb{R}$ che manda $0$ in $0\in \mathbb{R}$ continua, ma l'immagine di $\{0\}$ (che aperto nella sua topologia) non un aperto di $\mathbb{R}$.

    3. L'immagine di un chiuso mediante una funzione continua sempre un chiuso.+

      NO!
      La proiezione $p_1 (x,y) = x$ continua e manda il chiuso $\{xy=1\}$ nell'insieme $\{x \neq 0 \} \subset \mathbb{R}$, che non chiuso in $\mathbb{R}$.

    4. La controimmagine di un aperto mediante una funzione continua sempre un aperto.+

      SÌ!

    5. La controimmagine di un chiuso mediante una funzione continua sempre un chiuso.+

      SÌ!

    6. La controimmagine di un compatto mediante una funzione continua sempre un compatto.+

      NO!
      La funzione costante $f(x) = 0$ ha per controimmagine del compatto $\{0\}$ la retta $\mathbb{R}$, che non compatta.

  6. Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici, e $A\subset X$ e $B\subset Y$ due sottospazi. Se i prodotti hanno sempre la topologia prodotto, e $\overline{A}$ indica la chiusura di $A$ in $X$, $\overline{B}$ la chiusura di $B$ in $Y$ e $\overline{A\times B}$ la chiusura di $A\times B$ in $X\times Y$ allora
    1. $\overline{A\times B} = \overline{A} \times \overline{B}$.+

      SÌ!
      Osserviamo che $A\times B \subset \overline{A} \times \overline{B}$. Ora, il complementare di $\overline{A} \times \overline{B}$ \[ (X\setminus \overline{A}) \cup (Y \setminus \overline{B}) \] che aperto perch unione di aperti, e quindi $\overline{A} \times \overline{B}$ chiuso. Quindi la chiusura di $A\times B$ contenuta in $\overline{A} \times \overline{B}$, cio \[ \overline{A\times B} \subset \overline{A}\times\overline{B}. \] Conversely, sia $(x,y) \in X\times Y$ un punto nel complementare $(x,y) \not\in \overline{A\times B}$. Allora $(x,y)$ non in $A\times B$ e non di accumulazione per $A\times B$, e quindi esistono $U\subset X$ e $V\subset Y$ tali che $(x,y) \in U\times V$ e $(U\times V) \cap (A\times B) = \emptyset$. Dato che \[ (U\times V) \cap (A\times B) = (U\cap A) \times (V\times B), \] almeno uno tra $(U\cap A)$ e $(V\times B)$ deve essere vuoto. Ma allora $x \not\in \overline{A}$ oppure $y\not\in \overline{B}$, e dunque $(x,y)$ non pu appartenere a $\overline{A}\times \overline{B}$. Dunque, se $(x,y) \in \overline{A} \times \overline{B}$, non pu appartenere al complementare di $\overline{A\times B}$, e dunque \[ \overline{A} \times \overline{B} \subset \overline{A\times B}, \] da cui segue che sono uguali.

    2. Vale l'inclusione $\overline{A\times B} \supset \overline{A} \times \overline{B}$ ma possono anche essere diversi.+

      NO!
      (sono uguali sempre: la dimostrazione nella risposta giusta)

    3. Vale l'inclusione $\overline{A\times B} \subset \overline{A} \times \overline{B}$ ma possono anche essere diversi.+

      NO!
      (sono uguali sempre: la dimostrazione nella risposta giusta)

    4. Ci sono esempi in cui $\overline{A\times B}$ e $\overline{A} \times \overline{B}$ non sono inclusi l'uno nell'altro.+

      NO!
      (sono uguali sempre: la dimostrazione nella risposta giusta)