1. Si considerino i tre punti $A=[1:0:0]$, $B=[0:1:0]$, $C=[0:0:1]$ nel piano proiettivo $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$.
    1. I tre punti sono allineati.+

      NO!
      No: i tre vettori corrispondenti sono linearmente indipendenti.

    2. Per ogni scelta di tre punti non allineati $A',B',C'\in \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, gli insiemi $\{A,B,C\}$ e $\{A',B',C'\}$ sono proiettivamente equivalenti.+

      SÌ!

    3. Esiste una carta affine in cui $A,B,C$ hanno coordinate affini rispettivamente $(0,0)$, $(1,0)$, $(-1,0)$.+

      NO!
      I tre vettori corrispondenti sono linearmente indipendenti, e quindi i tre punti non sono allineati. Ma i tre punti della carta affine sono allineati, e quindi non può esserci la carta affine richiesta.

    4. L'equazione della retta per $A$ e $B$ è $x+y+u=0$ (in coordinate omogenee $[x:y:u]$).+

      NO!
      La retta di equazione $x+y+u=0$ non passa per $A$ e non passa per $B$.

  2. Due insiemi $X,X'\subset \mathbb{P}^n(K)$ sono proiettivamente equivalenti se:
    1. esiste una proiettività $f\colon \mathbb{P}^n(K) \to \mathbb{P}^n(K)$ tale che $f(X) = X'$.+

      SÌ!

    2. esiste un omeomorfismo $f\colon \mathbb{P}^n(K) \to \mathbb{P}^n(K)$ tale che $f(X) = X'$.+

      NO!
      Gli omeomorfismi non sono necessariamente proiettività.

    3. esiste una proiettività $f\colon \mathbb{P}^n(K) \to \mathbb{P}^n(K)$ tale che $f(X) \cap X' = \emptyset $.+

      NO!
      Deve essere $f(X) = X'$, non $f(X) \cap X' = \emptyset $.

    4. esiste una proiezione lineare $p\colon \mathbb{P}^n(K) \to X'$ tale che $p(X) = X'$.+

      NO!

  3. Siano $A$, $B$ e $C$ tre punti distinti di $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$.
    1. Esiste una unica proiettività $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ tale che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.+

      NO!

    2. Esistono infinite proiettività $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ tali che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.+

      SÌ!

    3. Non esistono proiettività $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ tali che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.+

      NO!

    4. Esistono un numero finito di proiettività $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ tali che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.+

      NO!

  4. Se $r$ e $l$ sono due rette distinte nel piano proiettivo $\mathbb{P}^2(K)$, dove $K$ è un campo di ordine $n$, allora $r\cup l$ ha
    1. $2n+1$ punti.+

      SÌ!

    2. $2n+2$ punti.+

      NO!

    3. $2n$ punti.+

      NO!

    4. $2n-1$ punti.+

      NO!

  5. La retta $r$ di equazione $2u+3x+4y=0$ in $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (coordinate omogenee $[u:x:y]$) ha per punti all'infinito (retta all'infinito $u=0$)
    1. $[0:-4:3]$.+

      SÌ!

    2. $[1:0:0]$.+

      NO!

    3. $[0:3:4]$.+

      NO!

    4. $[0:4:3]$.+

      NO!

  6. Sia $K$ un campo di ordine $n$. Il numero di punti di una retta nel piano $\mathbb{P}^2(K)$ è
    1. $n$+

      NO!

    2. $n+1$+

      SÌ!

    3. $n-1$+

      NO!

    4. $2n+1$.+

      NO!

  7. La retta $r$ di equazione $2009u+2010x=0$ in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ (coordinate omogenee $[u:x:y]$) ha per punti all'infinito (retta all'infinito $u=0$)
    1. $[0:0:1]$.+

      SÌ!

    2. $[1:0:0]$.+

      NO!

    3. $[0:2009:2010]$.+

      NO!

    4. $[0:-2009:2010]$.+

      NO!

  8. Siano $A$, $B$ e $C$ tre punti distinti di $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$.
    1. Esiste una unica proiettività $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$tale che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.+

      NO!

    2. Esistono infinite proiettività $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ tali che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.+

      SÌ!

    3. Non esistono proiettività $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ tali che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.+

      NO!

    4. Esistono un numero finito di proiettività $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ tali che $f(A)=A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.+

      NO!

  9. La retta $r$ di equazione $2u+3x+4y=0$ in $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (coordinate omogenee $[u:x:y]$) ha per punti all'infinito (retta all'infinito $u=0$)
    1. $[0:-4:3]$.+

      SÌ!

    2. $[1:0:0]$.+

      NO!

    3. $[0:3:4]$.+

      NO!

    4. $[0:4:3]$.+

      NO!

  10. Nello spazio proiettivo $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$, i punti $[x_0:x_1:\ldots:x_n]$ la cui $j$-esima coordinata proiettiva $x_j$ è zero sono, per ogni $n$:
    1. i punti impropri della $j$-esima carta affine in $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$.+

      SÌ!

    2. i punti della $j$-esima carta affine in $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$.+

      NO!

    3. uno spazio topologico omeomorfo ad $S^1$.+

      NO!

    4. i punti della chiusura proiettiva di un iperpiano affine della $j$-esima carta affine.+

      NO!

  11. Se $A$, $B$, $C$ sono tre punti distinti di $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, e $A'$, $B'$, $C'$ sono le loro immagini mediante una proiettività $f\colon \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) \to \mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, allora:
    1. se $A,B,C$ non sono allineati, anche $A',B',C'$ non possono essere allineati.+

      SÌ!

    2. anche se $A,B,C$ sono allineati, potrebbe essere che $A'$, $B'$, $C'$ non siano allineati.+

      NO!

    3. se $A$ è un prunto improprio di $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, allora anche $A'$ è un punto improprio.+

      NO!

    4. non può esistere un'altra proiettività $g\neq f$ tale che $g(A)=A'$, $g(B)=B'$, $g(C)=C'$.+

      NO!