1. Quale delle seguenti affermazioni è falsa:
    1. Lo spazio proiettivo è uno spazio quoziente.+

      NO!

    2. Le classi di equivalenza che costituiscono i punti dello spazio proiettivo sono sottospazi vettoriali di dimensione 1.+

      NO!

    3. Lo spazio proiettivo $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$ è unione della carta affine $\mathbb{A}_0^n(\mathbb{K})$ e dell'iperpiano dei punti all'infinito $\mathbb{P}^{n-1}_0(\mathbb{K})$.+

      NO!

    4. Esiste un punto in $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$ con coordinate proiettive omogenee tutte zero (l'origine).+

      SÌ!

  2. Siano $X$ e $Y$ spazi affini su campo $\mathbb{R}$. Quale delle seguenti implicazioni è falsa?
    1. Se $f\colon X \to Y$ è una mappa affine, allora esiste unica la mappa $\overrightarrow{f} \colon \overrightarrow{X} \to \overrightarrow{Y}$.+

      NO!

    2. Se $\dim(X) = \dim(Y)$ allora $X$ e $Y$ sono isomorfi dal punto di vista affine.+

      NO!

    3. Se $A,B,C$ sono tre punti di $X$ e $f\colon X \to Y$ è una mappa affine, allora la tre immagini $f(A)$, $f(B)$ e $f(C)$ sono allineate in $Y$ se e solo se $A,B,C$ sono allineati in $X$.+

      SÌ!

    4. Se $f\colon X \to Y$ è una mappa affine biunivoca, allora $\overrightarrow{f} \colon \overrightarrow{X} \to \overrightarrow{Y}$ è un isomorfismo di spazi vettoriali.+

      NO!

  3. Se $f\colon X \to Y$ è una mappa affine, allora l'immagine di una retta di $X$ in $Y$ deve essere:
    1. Un punto di $Y$.+

      NO!

    2. Un piano di $Y$.+

      NO!

    3. Una retta di $Y$.+

      NO!

    4. Una retta o un punto di $Y$.+

      SÌ!

  4. Siano $S,T\subset X$ sottospazi affini di $X$ tali che $S\cap T\neq \emptyset$, allora $S\cap T$ è una sottospazio affine di $X$ la cui dimensione soddisfa:
    1. $\dim(S)+\dim(T) \leq \dim(X) + \dim(S\cap T)$.+

      SÌ!

    2. $\dim(S)+\dim(T) \geq \dim(X) + \dim(S\cap T)$.+

      NO!

    3. $\dim(S)+\dim(T) = \dim(X) - \dim(S\cap T)$.+

      NO!

    4. $\dim(S)+\dim(T) \leq \dim(X) - \dim(S\cap T)$.+

      NO!

  5. Se $X$ è uno spazio affine reale di dimensione $n$, e $f\colon X \to \mathbb{A}^{n-d}(\mathbb{R})$ è una mappa affine suriettiva, quale dei seguenti è un sottospazio affine di $X$ di dimensione $d$?
    1. $\{P\in X : f(P) = Q \}$, per $Q\in \mathbb{A}^{n-d}(\mathbb{R})$ tale che $Q\neq \underline{0}$.+

      SÌ!

    2. $\{ P\in X : f(P) = 0 \in \mathbb{R} \}$.+

      NO!

    3. $\{ P\in X : f(P) \gt 0 \}$.+

      NO!

    4. $\{ P\in X : f(P) \neq 0\in \mathbb{R} \}$.+

      NO!

  6. Se $\mathbb{K}$ è un campo finito con $n$ elementi, e $r,l$ sono due rette distinte del piano proiettivo $\mathbb{P}^2(\mathbb{K})$, allora $r\cup l$ ha
    1. $2n+1$ punti.+

      SÌ!

    2. $2n+2$ punti.+

      NO!

    3. $2n-1$ punti.+

      NO!

    4. $2n$ punti.+

      NO!

  7. Quale delle seguenti frasi è vera?
    1. Ogni isometria di $\mathbb{E}^n$ che fissa esattamente un punto è una rotazione.+

      NO!

    2. La composizione di rotazioni attorno all'origine di $\mathbb{E}^n$ è commutativa.+

      NO!

    3. Sia in $\mathbb{E}^2$ la rotazione di angolo $\theta$ attorno ad un punto $Q\in \mathbb{E}^2$, scritta in coordinate come $f(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}$. Allora $g(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}$ è la rotazione di angolo $\theta$ attorno all'origine.+

      SÌ!

    4. Nessuna delle altre risposte.+

      NO!

  8. Si assuma vero che date due rette sghembe in $\mathbb{E}^n$, allora esiste una e una unica retta ortogonale e incidente ad entrambe. Siano $r$ una retta e $\pi$ un piano, sghembi in $\mathbb{E}^4$. Allora:
    1. Esiste una e una sola retta ortogonale ed incidente sia a $r$ che a $\pi$.+

      SÌ!

    2. Non esiste necessariamente una retta ortogonale ed incidente sia a $r$ che a $\pi$.+

      NO!

    3. Esistono due rette distinte $l_1$ e $l_2$, che sono entrambe ortogonali e incidenti sia a $r$ che a $\pi$, e che non sono sghembe.+

      NO!

    4. Per $P\in r$, sia $P'$ la proiezione ortogonale di $P$ su $\pi$, e $P''$ la proiezione ortogonale di $P'$ su $r$. La funzione $r \to r$ definita da $P \mapsto P''$ può non essere una mappa affine.+

      NO!

  9. Siano date, per $j=1,2$ e $n\geq 3$, le due rette $r_j=\{ A_j + t_j\boldsymbol{v}_j : t_j \in \mathbb{R} \} \subset \mathbb{E}^n$, con $\boldsymbol{v}_j \neq \boldsymbol{0}$. Quale delle seguenti non è necessariamente vera?
    1. Se esistono due rette distinte, ortogonali a $r_1$ e $r_2$ ed incidenti a $r_1$ e $r_2$, allora $r_1$ e $r_2$ sono sghembe.+

      SÌ!

    2. $r_1\cap r_2 \neq \emptyset$ $\iff$ $\exists (t_1,t_2) \in \mathbb{R}^2$ tale che $(A_1-A_2) = t_1 \boldsymbol{v}_1 + t_2 \boldsymbol{v}_2$.+

      NO!

    3. Le rette $r_1$ e $r_2$ sono parallele se e solo se la matrice \( \begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_2 \\ \boldsymbol{v}_2 \cdot \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 \cdot \boldsymbol{v}_2 \\ \end{bmatrix} \) non è invertibile.+

      NO!

    4. Dati $t_1$ e $t_2$ in $\mathbb{R}$, se $P_j$ sono i punti definiti da $P_j=A_j + t_j \boldsymbol{v}_j \in r_j$ per $j=1,2$, allora se $P_1\neq P_2$ la retta $l$ per $P_1$ e $P_2$ è ortogonale a $r_1$ e $r_2$ se e soltanto se \[ \begin{aligned} (A_1-A_2 + t_1\boldsymbol{v}_1 - t_2 \boldsymbol{v}_2)\cdot \boldsymbol{v}_1 & = 0 \\ (A_1-A_2 + t_1\boldsymbol{v}_1 - t_2 \boldsymbol{v}_2)\cdot \boldsymbol{v}_2 & = 0 ~. \end{aligned} \]+

      NO!

  10. Siano $H_1$, $H_2$ e $H_3$ tre piani distinti in $\mathbb{P}^3(\mathbb{Q})$. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
    1. L'intersezione $H_1\cap H_2 \cap H_3$ è sempre diversa dall'insieme vuoto.+

      SÌ!

    2. L'intersezione $H_1\cap H_2 \cap H_3$ è formata sempre da uno e un solo punto.+

      NO!

    3. L'intersezione $H_1\cap H_2 \cap H_3$ non può contenere tre punti distinti allineati.+

      NO!

    4. Nessuna delle altre risposte.+

      NO!