1. Non possono esistere:
    1. un piano e una retta sghembi in $\mathbb{A}^4(\mathbb{R})$;+

      NO!
      Ricordiamo che un piano e una retta sono sghembi se non hanno punti in comune e non sono paralleli. Consideriamo quindi in $\mathbb{A}^4(\mathbb{R})$ con coordinate $x,y,z,w$ il piano $\{z=w=0\}$ e la retta passante per $(0,0,0,1)$ e con giacitura il vettore $\boldsymbol{e}_3= \langle 0,0,1,0\rangle$. Non sono paralleli, e un punto di intersezione esiste solo se c' una soluzione in $t$ del sistema di equazioni $x=0$, $y=0$, $z=t$, $w=1$, $z=0$, $w=0$, che chiaramente non ha soluzioni.

    2. pi di una sola retta parallela ad un piano dato in $\mathbb{A}^3(\mathbb{C})$ e passante per un punto non del piano;+

      NO!
      Prendiamo il piano $z=0$: per ogni vettore $\langle \alpha,\beta,0\rangle$ in $\mathbb{C}^3$ e per ogni punto $P\in \mathbb{A}^3(\mathbb{C})$ non nel piano la retta che passa per $P$ e con giacitura $\langle \alpha,\beta,0\rangle$ parallela al piano di equazione $z=0$: queste rette sono certamente pi di una, dato che sono infinite.

    3. due piani sghembi in $\mathbb{A}^4(\mathbb{C})$;+

      NO!
      Perch due piani $\pi_1$ e $\pi_2$ siano sghembi in $\mathbb{A}^4(\mathbb{C})$, deve essere che le loro giaciture $W_1$ e $W_2$ non coincidano. Consideriamo quindi due piani con giaciture $W_1$ e $W_2$ generate rispettivamente da $\{ \langle 1,0,0,0\rangle, \langle 0,1,0,0\rangle \}$ e $\{ \langle 1,0,0,0 \rangle, \langle 0,0,1,0 \}$. Allora non sono certamente paralleli. Inoltre i due piani $O+W_1$ e $(0,0,0,1)+W_2$ si intersecano se e soltanto se esiste un punto $(x,y,0,0)$ di $\pi_1 = O+W_1$ che appartiene anche a $\pi_2$, ed chiaro che questo non pu succedere.

    4. due piani in $\mathbb{A}^3(\mathbb{Q})$ che si intersecano in un solo punto.+

      SÌ!
      Per ogni campi $\mathbb{K}$, due piani in $\mathbb{A}^3(\mathbb{K})$, se si intersecano, si intersecano in un sottospazio la cui dimensione $x$ soddisfa la disuguaglianza $2 + 2 \leq x + 3$, cio $x\geq 1$. (Proposizione 16.7 delle note del corso). Quindi i due piani o sono paralleli, oppure hanno intersezione con pi di un punto.

  2. Quale delle seguenti falsa?
    1. Ogni isometria di $\mathbb{E}^2$ pu essere scritta come composizione di un numero finito di riflessioni lungo rette.+

      NO!

    2. Le isometrie tra spazi affini euclidei si possono scrivere come $x\to Ax+b$ con $A\in GL(n,\mathbb{R})$ e $b\in \mathbb{R}^n$.+

      NO!
      Questa una affermazione vera! Infatti, dato che una isometria si scrive come $x \to Ax+b$ con $A\in O(n)$, e le matrici di $O(n)$ sono invertibili, allora anche vero che si scrive come $x\to Ax+b$ con $A\in GL(n,\mathbb{R})$. Tutte le isometrie sono trasformazioni affini, anche se non tutte le trasformazioni affini sono isometrie...

    3. Le uniche isometrie del piano euclideo sono le traslazioni, le rotazioni e le riflessioni.+

      SÌ!
      Mancano le glissoriflessioni, che non sono n traslazioni, n rotazioni (perch non sono dirette), e non fissano i punti di una retta (dunque non sono riflessioni).

    4. Se $f\colon \mathbb{E}^n\to\mathbb{E}^n$ un'isometria, allora l'omomorfismo indotto sulle giaciture $\vec{f}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ conserva il prodotto scalare.+

      NO!
      Di fatto parte della proposizione 17.13 delle note.

  3. Lo spazio proiettivo $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{R})$ omeomorfo a...
    1. il toro $T^{2}=S^1\times S^1$.+

      NO!

    2. $S^{2}=\{\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^3 : \lVert\boldsymbol{v}\rVert^2 = 1 \}$.+

      NO!

    3. $S^{2}/\sim$, dove $\sim$ la relazione di equivalenza definita su $S^2$ da $\boldsymbol{v}\sim \boldsymbol{w}\iff \lVert\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\rVert\lVert\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}\rVert=0$.+

      SÌ!

    4. $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$.+

      NO!

  4. Quale tra queste affermazioni vera?
    1. La composizione di due isometrie dirette pu non essere un'isometria diretta.+

      NO!

    2. La composizione di due isometrie inverse necessariamente un'isometria diretta.+

      SÌ!

    3. La composizione di una isometria diretta con una isometria inversa un'isometria diretta.+

      NO!

    4. La composizione $f\circ g$ di una isometria diretta $f$ con una isometria inversa $g$ un'isometria diretta se e solo se $f$ una rotazione.+

      NO!

  5. Quale tra queste affermazioni falsa?
    1. La composizione di due riflessioni del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ attorno a due rette parallele distinte una traslazione non banale.+

      NO!

    2. Ogni isometria del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ composizione di al pi tre riflessioni attorno a rette.+

      NO!
      Sappiamo che tutte le isometrie dirette non banali in $\mathbb{E}^2$ fissano sempre uno e un solo punto (il centro di rotazione). La composizione di due riflessioni lungo rette incidenti, dato che fissa un punto ed una isometria diretta, quindi o una rotazione oppure l'identit (quando le due rette coincidono, quindi). Se le due rette sono parallele, la composizione una traslazione lungo al direzione ortogonale alle rette. Quindi tutte le isometrie dirette si possono scrivere come composizione di due riflessioni. Se $g\colon \mathbb{E}^2 \to \mathbb{E}^2$ una isometria inversa, e $h$ una riflessione, allora $hg$ una isometria diretta, e quindi esistono due rotazioni $r_1$ e $r_2$ per cui $hg=r_1r_2$, da cui segue che $g=hr_1r_2$, cio $g$ prodotto di tre riflessioni attorno a rette.

    3. Ogni rotazione del piano eculideo $\mathbb{E}^2$ pu essere scritta come una rotazione che fissa l'origine seguita da una traslazione.+

      NO!
      Basta osservare che si scrive come $x\mapsto Ax+b$, con $A\in SO(2)$.

    4. Ogni isometria del piano composizione di rotazioni (con centri eventualmente distinti) e traslazioni.+

      SÌ!
      Queste sono le isometrie dirette. Mancano le riflessioni e le glissoriflessioni (isometrie inverse).

  6. Sul piano complesso $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ si consideri la carta affine $\{[z_0:z_1:z_2]\mid z_0\neq 0\}$. Quale delle seguenti falsa?
    1. Il punto all'infinito della retta $\{2iz_0-z_1=0\}$ $[0:0:i]$.+

      NO!
      Sostituendo $z_0=0$, $z_1=0$ e $z_2=i$ nell'equazione si ottiene $2i0-0=0$, quindi il punto indicato davvero il punto all'infinito.

    2. Il punto all'infinito della retta $\{(2i-3)z_0+(2i+1)z_1-4z_2=0\}$ $[0:4:2i+1]$.+

      NO!
      Sostitudendo $z_0=0$, $z_1=4$ e $z_2=2i+1$ nell'equazione, si ottiene $(2i-3)0 + (2i+1)4 -4(2i+1) = 0$, quindi il punto all'infinito.

    3. Il punto all'infinito della retta $\{iz_1-z_2+3iz_0=0\}$ $[0:1:i]$.+

      NO!
      Sostituendo $z_0=0$, $z_1=1$ e $z_2=i$ nell'equazione della retta si ottiene $i - i + 3i0 = 0$, quindi il punto all'infinito.

    4. Il punto all'infinito della retta $\{(i-1)z_0+2iz_1+(i-1)z_2=0\}$ $[0:2:i+1]$.+

      SÌ!
      Sostituendo $z_0=0$, $z_1=2$ e $z_2=i+1$ nell'equazione della retta si ottiene $(i-1)0 + 2i2 +(i-1)(i+1)=0$, che falsa dato che $4i + i^2-1 = 4i-2 \neq 0$.

  7. Sia $X$ uno spazio affine di dimensione $n$ su un campo $K$. Allora vero che:
    1. Se $Y$ uno spazio affine sul campo $K$, allora $X$ e $Y$ sono isomorfi.+

      NO!

    2. Una scelta di $n$ punti indipendenti di $X$ induce un isomorfismo di $X$ con $\mathbb{A}^n(K)$.+

      NO!

    3. Se $Y$ uno spazio affine di dimensione $n$ sul campo $K$, $X$ e $Y$ possono non essere isomorfi.+

      NO!

    4. $X$ isomorfo allo spazio affine $\mathbb{A}^n(K)$.+

      SÌ!

  8. Siano $S,T$ sottospazi affini di $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ di dimensione uno. vero che:
    1. $S$ e $T$ possono essere sghembi+

      NO!

    2. Se $S\cap T=\emptyset$ allora $S$ e $T$ non sono paralleli.+

      NO!

    3. Se $\vec{S}\cap \vec{T}=\{0\}$ allora $S$ e $T$ non sono paralleli.+

      SÌ!

    4. Se $\vec{S}\cap \vec{T}=\vec{S}$ allora $S$ e $T$ possono non essere paralleli.+

      NO!

  9. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$. Quale affermazione sullo spazio proiettivo $\mathbb{P}(V)$ falsa?
    1. Esiste una relazione di equivalenza $\sim$ per cui $\mathbb{P}(V)=(V\setminus\{0\})/\sim$.+

      NO!

    2. $\mathbb{P}(V)$ ha la topologia quoziente.+

      NO!

    3. $\operatorname{dim}(V)\gt \operatorname{dim}(\mathbb{P}(V))$.+

      NO!

    4. $\operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(\mathbb{P}(V))$ se e solo se $\operatorname{dim}(V)=1$.+

      SÌ!

  10. Se $f\colon\mathbb{E}^2\to \mathbb{E}^2$ una glissoriflessione, allora
    1. $f$ un'isometria inversa.+

      SÌ!

    2. $f$ fissa tutti i punti di una retta.+

      NO!

    3. esiste esattamente un punto di $\mathbb{E}^2$ fissato da $f$.+

      NO!

    4. $f$ composizione di una rotazione e una traslazione.+

      NO!