1. Un arco (cammino) in uno spazio topologico $X$ :
    1. una funzione continua e iniettiva $\gamma\colon [0,1] \to X$.+

      NO!

    2. una funzione continua $\gamma\colon [0,1] \to X$.+

      SÌ!

    3. una funzione continua e suriettiva $\gamma \colon X \to [0,1]$.+

      NO!

    4. una funzione continua $\gamma\colon X \to [0,1]$.+

      NO!

  2. Sia $X$ uno spazio topologico connesso per archi. Allora $Y$ connesso per archi nel caso in cui:
    1. esiste $f\colon X \to Y$ continua e suriettiva.+

      SÌ!

    2. esiste $f\colon X \to Y$ continua.+

      NO!

    3. esiste $f\colon X \to Y$ continua e iniettiva.+

      NO!

    4. esiste $f\colon X \to Y$ biunivoca.+

      NO!

  3. Sia $X$ uno spazio topologico. Quali delle seguenti affermazioni vera?
    1. Se $X$ non connesso, allora $X$ non connesso per archi.+

      SÌ!

    2. Se $X$ connesso, allora $X$ connesso per archi.+

      NO!

    3. Se $X$ aperto e connesso, allora $X$ connesso per archi.+

      NO!

    4. Se $X$ metrico e connesso, allora connesso per archi.+

      NO!

  4. Quale di questi non un gruppo topologico?
    1. Un gruppo con pi di due elementi e con la topologia banale.+

      SÌ!
      Per essere un gruppo topologico deve essere di Hausdorff.

    2. Un gruppo con pi di due elementi e con la topologia discreta.+

      NO!

    3. Un sottogruppo di un gruppo topologico, con la topologia indotta.+

      NO!

    4. Il gruppo quoziente $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, con la topologia quoziente, dove $\mathbb{R}$ il gruppo additivo dei reali e $\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$ il sottogruppo degli interi.+

      NO!

  5. Quale dei seguenti uguale a $SO(n)$, per $n\geq 1$ (dove $A^t$ indica la trasposta della matrice $A$)?
    1. $\{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : \det A = 1 \}$.+

      NO!

    2. $\{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : A^t A= A A^t = I_n \}$.+

      NO!

    3. $\{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : A^t A = I_n,\ \det A = 1\}$.+

      SÌ!

    4. $O(n) \cap GL(n,\mathbb{R})$.+

      NO!

  6. Quale delle seguenti proposizioni non corretta?
    1. Un chiuso e connesso di $\mathbb{R}$ sempre connesso per archi.+

      NO!

    2. Un aperto e connesso di $\mathbb{R}^n$ sempre connesso per archi.+

      NO!

    3. Un compatto e connesso di $\mathbb{R}^n$ sempre connesso per archi.+

      SÌ!

    4. Lo spazio $\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z^2 = x^2 + y^2, \ 0\leq z\leq 1\}$ (con la topologia metrica) connesso per archi.+

      NO!

  7. Quale delle seguenti proposizioni falsa?
    1. Se $A\in SO(3)$, allora esistono tre rotazioni $R_x$, $R_y$ e $R_z$ attorno agli assi coordinati di $\mathbb{R}^3$ tali che $A=R_xR_yR_z$.+

      NO!

    2. Sia $e_3 = (0,0,1)$; per ogni $p\in S^2$ esiste una rotazione $R\in SO(3)$ tale che $Rp = e_3$.+

      NO!

    3. Il gruppo topologico $SO(3)$ compatto e connesso.+

      NO!

    4. Il gruppo topologico $O(3)$ compatto e connesso.+

      SÌ!

  8. Quale delle seguenti vera?
    1. Se per ogni $x_0,x_1\in X$ esiste una funzione continua $f\colon [0,1] \to X$ tale che $f(0)=x_0$ e $f(1) = x_1$, allora $X$ connesso.+

      SÌ!

    2. Se $X$ ha la topologia banale e pi di un elemento, non connesso.+

      NO!

    3. Tutti i sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ con topologia discreta sono connessi.+

      NO!

    4. Se $f\colon X \to Y$ una funzione suriettiva e $Y$ connesso per archi, allora $X$ connesso per archi.+

      NO!

  9. Se $A\in SO(3)$ una matrice di rotazione diversa dalla matrice identit $I$, allora:
    1. Esiste uno e un solo autovalore reale di $A$.+

      NO!
      La matrice delle rotazioni di angolo $\pi$ ha due autovalori uguali a $-1$ e uno uguale a $1$!

    2. Esiste $n\in \mathbb{Z}$ tale che $A^n = I$.+

      NO!
      Si prenda una rotazione di angolo irrazionale con $2\pi$, cio un angolo $\alpha$ tale che $n\alpha \not\in 2\pi\mathbb{Z}$ per ogni $n$. Una rotazione del genere non pu avere ordine finito.

    3. Il numero $1$ certamente autovalore di $A$.+

      SÌ!

    4. Esistono due autovalori distinti complessi coniugati.+

      NO!
      Questo vero se gli autovalori non sono tutti reali, cio se non il caso delle rotazioni di angolo $\pi$ (con autovalori $\{1,-1,-1\}$.

  10. Il gruppo ortogonale $O(n)$, $n\geq1$ non :
    1. metrizzabile.+

      NO!

    2. di Hausdorff.+

      NO!

    3. compatto.+

      NO!

    4. connesso.+

      SÌ!