1. Quale delle seguenti è vera?
    1. Per ogni intero $n\geq 2$ gli spazi $\mathbb{Q}^n - \{\boldsymbol{0} \}$ e $\mathbb{R}^n - \{\boldsymbol{0} \}$ sono connessi.+

      NO!

    2. L'intervallo $(0,+\infty) \subset \mathbb{R}$ non è né compatto né connesso.+

      NO!

    3. I compatti e connessi di $\mathbb{R}$ sono tutti e soli i sottoinsiemi $[a,b]$ con $a,b\in \mathbb{R}$ e $a\lt b$.+

      NO!

    4. Il sottospazio $\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: |x| + |y| + |z| \leq 2 \}$ è connesso e compatto.+

      SÌ!

  2. Sia $X\subset \mathbb{R}$ un intervallo di $\mathbb{R}$ e $f\colon X \to \mathbb{R}$ una funzione. Allora:
    1. Se $f$ è strettamente monotona, allora $f$ è continua.+

      NO!

    2. Se $f$ è continua e suriettiva allora $f(J)$ è un intervallo aperto per ogni intervallo aperto $J=(a,b) \subset X$.+

      NO!
      No, se $f$ è localmente costante...

    3. Se $f$ è continua e iniettiva, allora $f$ è un omeomorfismo.+

      NO!

    4. Se esiste $J=(a,b) \subset X$ per cui $f(J)$ non è un intervallo non degenere, allora $f$ non può essere sia continua che iniettiva.+

      SÌ!

  3. Sia $X$ uno spazio metrico. Quale delle seguenti è falsa?
    1. Se $X=\mathbb{R}^n$, ogni $C\subset X$ chiuso è anche compatto.+

      SÌ!

    2. Se $X=\mathbb{R}^n$, allora $X$ è completo.+

      NO!

    3. Se $X$ non è completo, allora $X$ non è compatto.+

      NO!

    4. Se $\{x_n\}$ è una successione convergente in $X$, allora $\{x_n\}$ è una successione di Cauchy.+

      NO!

  4. Sia $X\subset \mathbb{R}$ un insieme di numeri reali. Allora l'insieme $M$ formato da tutti i minoranti di $X$ in $\mathbb{R}$ :
    1. non è mai vuoto.+

      NO!

    2. è un chiuso di $\mathbb{R}$.+

      SÌ!

    3. è un chiuso di $\mathbb{R}$ se e soltanto se $X$ è aperto.+

      NO!

    4. è un chiuso di $\mathbb{R}$ se e soltanto se $X$ è chiuso.+

      NO!

  5. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
    1. $GL(n,\mathbb{R})$ è connesso ma non è compatto.+

      NO!

    2. $SO(n)$ è compatto e $O(n)$ è connesso.+

      NO!

    3. $O(n)$ è compatto e connesso.+

      NO!

    4. $SO(2)$ è connesso e $GL(n,\mathbb{R})$ non è compatto.+

      SÌ!

  6. Sia $X$ uno spazio topologico. Sia $B\subset X$ un sottospazio connesso e non vuoto di $X$, $W$ un insieme di indici e $\{Y_w\}_{w\in W}$ una famiglia di sottospazi non vuoti e connessi di $X$, tali che $\forall w\in W, Y_w \cap B = \emptyset$. Allora:
    1. Lo spazio $B \cap \left( \bigcup_{w\in W} Y_w \right)$ è sempre connesso.+

      SÌ!

    2. Lo spazio $B \cup \left( \bigcap_{w\in W} Y_w \right)$ non è mai connesso.+

      NO!

    3. Lo spazio $B \cup \left( \bigcup_{w\in W} Y_w \right)$ è sempre connesso.+

      NO!

    4. Lo spazio $B \cap \left( \bigcap_{w\in W} Y_w \right)$ non è mai connesso.+

      NO!

  7. Il teorema degli zero afferma che:
    1. Se $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ è una funzione continua, $f(a)f(b) \lt 0$ $\Longrightarrow$ $\exists x_0 \in [a,b]$ t.c. $f(x_0) = 0$.+

      SÌ!

    2. Se $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ è una funzione tale che $f(a)f(b) \lt 0$, allora $\exists x_0 \in [a,b]$ t.c. $f(x_0) = 0$.+

      NO!

    3. Se $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ è una funzione continua, allora $\exists x_0 \in [a,b]$ t.c. $f(x_0) = 0$.+

      NO!

    4. Nessuna delle altre risposte.+

      NO!

  8. Quale di queste condizioni non è necessaria affinché $G$ sia un gruppo topologico?
    1. $G$ è uno spazio topologico di Hausdorff.+

      NO!

    2. L'operazione prodotto $(g,h) \mapsto gh$, con $g,h\in G$, è continua.+

      NO!

    3. $G$ è un gruppo.+

      NO!

    4. L'operazione prodotto $(g,h) \mapsto gh$, con $g,h\in G$, è commutativa.+

      SÌ!

  9. Sia $X$ uno spazio topologico. Allora $X$ non è connesso se e soltanto se:
    1. Gli unici sottoinsiemi di $X$ sia aperti che chiuso sono $\emptyset$ e $X$.+

      NO!

    2. $X$ è unione disgiunta di due aperti.+

      NO!

    3. Esiste una funzione continua non costante da $X$ a $\{-1,1\}$.+

      SÌ!

    4. Esiste una funzione $f\colon X \to Y$ tale che l'immagine di $X$ in $Y$ non è connessa.+

      NO!

  10. Quale delle seguenti affermazioni non è necessariamente vera?
    1. Se $X$ è uno spazio metrico, allora ogni sottoinsieme $Y\subset X$ con infiniti punti ha almeno un punto di accumulazione in $X$ se e soltanto se $X$ è compatto per successioni.+

      NO!

    2. Se $X$ è uno spazio topologico e $X$ è compatto per successioni, allora $X$ è compatto.+

      SÌ!

    3. Se $X$ è uno spazio topologico compatto, allora per ogni $Y\subset X$ con infiniti punti, $Y$ ha almeno un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

    4. Se $X\subset \mathbb{R}^n$ è un insieme infinito e limitato, allora $X$ ha almeno un punto di accumulazione in $\mathbb{R}^n$.+

      NO!