1. Secondo il lemma di Lebesgue, se $X$ è uno spazio metrico compatto e $\{U_\alpha\}$ un ricoprimento aperto di $X$, allora:
    1. esiste $\delta\gt 0$ tale che per ogni $x\in X$ esiste $\alpha$ tale che $x\in B_\delta(x) \subset U_\alpha$.+

      SÌ!

    2. per ogni $\delta\gt 0$ esiste $x\in X$ tale che esiste $\alpha$ tale che $x\in B_\delta(x)\subset U_\alpha$.+

      NO!

    3. esiste $\delta\gt 0$ tale che per ogni $x\in X$ e per ogni $\alpha$ si ha $x\in B_\delta(x)\subset U_\alpha$.+

      NO!

    4. per ogni $\delta\gt 0$ e per ogni $x\in X$ esiste $\alpha$ tale che $x\in B_\delta(x) \subset U_\alpha$.+

      NO!

  2. Se $C$ è uno spazio metrico, con la topologia metrica, quale tra le seguenti proposizioni non è equivalente alle altre?
    1. Esiste una successione in $C$ che ammette una sottosuccessione convergente.+

      SÌ!

    2. $C$ è compatto.+

      NO!

    3. Ogni insieme infinito di punti di $C$ ha almeno un punto di accumulazione in $C$.+

      NO!

    4. $C$ è compatto per successioni.+

      NO!

  3. Sia $X$ uno spazio topologico. Se $f\colon X \to \mathbb{Q}$ è una funzione continua e suriettiva, allora:
    1. lo spazio $X$ non può essere né connesso né compatto.+

      SÌ!

    2. lo spazio $X$ può essere compatto ma non connesso.+

      NO!

    3. lo spazio $X$ può essere sia connesso che compatto.+

      NO!

    4. lo spazio $X$ può essere connesso ma non compatto.+

      NO!

  4. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. Per ogni $n\geq 2$ gli spazi $\mathbb{R}^n$, $I^n$, con $I=[0,1]\subset \mathbb{R}$, e $\mathbb{Q}^n$ sono connessi.+

      SÌ!

    2. Siano $Y$ e $Z$ sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ tali che $Y\subset Z\subset \overline{Y}$. Se $Y$ è connesso anche $Z$ è connesso.+

      NO!

    3. Se due sottospazi connessi $Y$ e $Z$ di uno spazio topologico hanno un punto in comune, allora $Y\cup Z$ è connesso.+

      NO!

    4. Uno spazio quoziente di uno spazio connesso è connesso.+

      NO!

  5. Uno spazio non vuoto con la topologia discreta è connesso se e soltanto se:
    1. Ha un solo punto.+

      SÌ!

    2. Ha infiniti punti.+

      NO!

    3. È chiuso.+

      NO!

    4. Nessuna delle altre risposte.+

      NO!

  6. Se $A\in SO(3)$ è una matrice di rotazione diversa dalla matrice identità $I$, allora:
    1. Il valore $1$ è certamente un autovalore di $A$.+

      SÌ!

    2. Esiste uno e un solo autovalore reale di $A$.+

      NO!

    3. Esiste $k\in \mathbb{Z}$, $k\neq 0$, tale che $A^k = I$.+

      NO!

    4. $A$ ha due autovalori distinti complessi e coniugati.+

      NO!

  7. Quale dei seguenti fatti è vero (si indichi con $\mathbb{R}^{n\times n} \cong \mathbb{R}^{n^2}$ lo spazio di tutte le matrici quadrate $n\times n$ a coefficienti reali, con la metrica euclidea)?
    1. $O(n)$ è chiuso in $\mathbb{R}^{n\times n}$.+

      SÌ!

    2. $GL(n,\mathbb{R})$ è chiuso in $\mathbb{R}^{n\times n}$.+

      NO!

    3. Per ogni $n\geq 2$, $O(n)$ e $SO(n)$ sono connessi.+

      NO!

    4. $GL(n,\mathbb{R})$ è compatto.+

      NO!

  8. In uno spazio affine di dimensione $n$ due punti sono dipendenti se:
    1. coincidono.+

      SÌ!

    2. appartengono ad una stessa retta.+

      NO!

    3. generano una retta.+

      NO!

    4. nessuna delle altre risposte.+

      NO!

  9. Siano $A,B,C$ tre punti distinti di uno spazio affine $X$ su campo $\mathbb{K}$. Allora $A,B,C$ sono allineati se e solo se:
    1. $\exists \rho \in \mathbb{K}$ tale che $\overrightarrow{AC} = \rho \overrightarrow{AB}$.+

      SÌ!

    2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.+

      NO!

    3. $A,B,C$ appartengono a tre trette distinte che si incontrano in uno stesso punto.+

      NO!

    4. $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ sono tra loro linearmente indipendenti.+

      NO!

  10. In uno spazio affine $X$ di dimensione $n$, un riferimento affine è:
    1. un insieme di $n+1$ punti indipendenti di $X$.+

      SÌ!

    2. un insieme di $n-1$ punti indipendenti di $X$.+

      NO!

    3. un punto $x_0\in X$ e $n+1$ vettori indipendenti in $\overrightarrow{X}$.+

      NO!

    4. un punto $x_0\in X$ e $n-1$ vettori indipendenti in $\overrightarrow{X}$.+

      NO!