1. Le componenti connesse di $\mathbb{Q}$ sono
    1. I singoli punti di $\mathbb{Q}$.+

      SÌ!

    2. $\mathbb{Q}$ non ha componenti connesse.+

      NO!

    3. Gli intervalli del tipo $J=(a,b)$ con $a\lt b$, $a\in \mathbb{Q}$, $b\in \mathbb{Q}$.+

      NO!

    4. Gli intervalli $J\subset \mathbb{Q}$ e i singoli punti di $\mathbb{Q}$.+

      NO!

  2. Sia $A$ una componente connessa di uno spazio topologico $X$. Allora :
    1. $A$ è un chiuso di $X$, ma non necessariamente un aperto di $X$.+

      SÌ!

    2. $A$ è un aperto di $X$, ma non necessariamente un chiuso di $X$.+

      NO!

    3. $A$ è sia un aperto che un chiuso di $X$.+

      NO!

    4. Nessuna delle altre risposte.+

      NO!

  3. Sia $A=\{ x\in \mathbb{Q} : 0\lt x\lt 1\}$, con la topologia metrica. Quali delle seguenti famiglie di sottoinsiemi è un ricoprimento aperto di $A$ da cui si può estrarre un sottoricoprimento finito di $A$?
    1. $\{U_n\}_n$, con $U_n = \{ x \in A : x \not\in (\sqrt{3} - \frac{1}{n}, \sqrt{3} + \frac{1}{n} )\}$, per $n\in \mathbb{N}, n\gt 0$.+

      SÌ!

    2. $\{U_n\}_n$, con $U_n = \{x\in A : x\in (\frac{1}{n},1-\frac{1}{n})\}$, per $n \in \mathbb{N}, n\gt 1$.+

      NO!

    3. $\{U_y\}_y$, con $U_y = \{x \in A : x \in (y-\frac{1}{2},y+\frac{1}{2})\}$, per $y \in \mathbb{Z}$.+

      NO!

    4. $\{U_n\}_n$, con $\{x\in A : x\not\in(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{n}, \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{n} )\}$, per $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 0$.+

      NO!

  4. Sia $f\colon X \to Y$ una funzione continua, e $X$ uno spazio topologico compatto. Allora $f$ è chiusa se :
    1. $Y$ è compatto.+

      NO!

    2. $Y$ è di Hausdorff.+

      SÌ!

    3. $Y$ è connesso.+

      NO!

    4. $\forall C\subset Y$ chiuso di $Y$, $f^{-1}(C)$ è un chiuso di $X$.+

      NO!

  5. Sia $X=\{x\in \mathbb{C} : x^4 \in \mathbb{Q}\}$. Allora :
    1. $X$ non è compatto.+

      SÌ!

    2. $X$ è compatto.+

      NO!

    3. La chiusura di $X$ in $\mathbb{C}$ è omeomorfa a $\mathbb{R}$.+

      NO!

    4. $X$ è un sottoinsieme chiuso di $\mathbb{C}$.+

      NO!

  6. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? Dato uno spazio topologico $X$ non vuoto, ordinato rispetto ad una relazione d'ordine $\lt $:
    1. Gli intervalli $J$ sono connessi in ogni topologia.+

      SÌ!

    2. Se $X$ è connesso nella topologia discreta, allora $X$ ha un solo punto.+

      NO!

    3. Se $X=\mathbb{Q}$, allora $X$ ha una infinità numerabile di componenti connesse.+

      NO!

    4. Se $X$ ha la topologia banale, allora è connesso.+

      NO!

  7. Quale di queste uguaglianze non è corretta ?
    1. $O(n) = \{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : \det A \in \{\pm1\} \}$.+

      SÌ!

    2. $GL(n,\mathbb{R}) = \{ A \in \mathrm{Mat}(n\times n, \mathbb{R}) : \det A \neq 0 \}$+

      NO!

    3. $SO(n) = \{ A \in O(n) : \det A \gt 0 \}$.+

      NO!

    4. $O(n) = \{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : A A^t = A^t A = I_n \}$.+

      NO!

  8. Sia $X$ uno spazio topologico connesso per archi. Allora $Y$ è connesso per archi nel caso in cui :
    1. Esiste $f\colon X \to Y$ continua e suriettiva.+

      SÌ!

    2. Esiste $f\colon X \to Y$ continua.+

      NO!

    3. Esiste $f\colon X \to Y$ continua e iniettiva.+

      NO!

    4. Esiste $f\colon X \to Y$ biunivioca.+

      NO!

  9. Il gruppo ortogonale $O(n)$ per $n\geq 2$ non è :
    1. connesso.+

      SÌ!

    2. di Hausdorff.+

      NO!

    3. compatto.+

      NO!

    4. metrizzabile.+

      NO!

  10. Sia $X$ uno spazio metrico, e $C\subset X$ un sottospazio. Quale delle seguenti non è sempre vera :
    1. Se $C$ è compatto per successioni, allora ogni successione di Cauchy in $C$ converge in $C$.+

      NO!

    2. $C$ è compatto se e soltanto se $\forall A\subset C$, $A$ infinito, $A$ ha almeno un punto di accumulazione in $C$.+

      NO!

    3. $C$ è compatto se e soltanto se ogni successione in $C$ ha una sottosuccessione convergente.+

      NO!

    4. Se $X$ è compatto, allora $C$ è compatto.+

      SÌ!