1. Sia $GL(2,\mathbb{Q})$ il gruppo delle matrici invertibili $2\times 2$ a coefficienti in $\mathbb{Q}$. Allora $GL(2,\mathbb{Q})$ ...
    1. connesso.+

      NO!

    2. compatto.+

      NO!

    3. non n compatto n connesso.+

      SÌ!

    4. compatto e connesso.+

      NO!

  2. Tre punti $A,B,C$ di uno spazio affine $X$ su un campo $\mathbb{K}$ sono allineati se ...
    1. l'area del triangolo $ABC$ zero.+

      NO!

    2. esiste una retta $r$ in $X$ tale che $A\in r$, $B\in r$, $C\in r$.+

      SÌ!

    3. lo spazio affine generato da $A$, $B$ e $C$ ha dimensione $2$.+

      NO!

    4. lo spazio affine generato da $A$, $B$ e $C$ ha dimensione $1$.+

      NO!

  3. Quali delle seguenti affermazioni falsa.
    1. Le componenti connesse di uno spazio topologico $X$ sono chiusi di $X$.+

      NO!

    2. Uno spazio topologico $X$ connesso se e soltanto se ha una unica componente connessa.+

      NO!

    3. L'unione di una famiglia di sottospazi connessi di uno spazio topologico $X$ con almeno un punto in comune un connesso.+

      NO!

    4. Un sottospazio connesso di $\mathbb{R}$ non necessariamente connesso per archi.+

      SÌ!

  4. Uno dei seguenti spazi non omeomorfo agli altri. Quale?
    1. $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.+

      NO!

    2. $U(1)$.+

      NO!

    3. $SO(2)$.+

      NO!

    4. $O(2)$.+

      SÌ!

  5. Sia $X$ uno spazio affine su campo $\mathbb{K}$ di dimensione $n\geq 1$. Un riferimento affine di $X$ ...
    1. una scelta di $n+1$ punti di $X$ indipendenti.+

      SÌ!

    2. una scelta di $n$ punti di $X$ indipendenti.+

      NO!

    3. una scelta di un punto $x_0\in X$ e di $n+1$ vettori indipendenti di $\overrightarrow{X}$.+

      NO!

    4. una scelta di un punto $x_0\in X$ e di $n-1$ vettori indipendenti di $\overrightarrow{X}$.+

      NO!

  6. Quale tra le seguenti affermazioni falsa?
    1. $SO(2) \approx S^1$.+

      NO!

    2. $S^1$ non uno spazio omogeneo.+

      SÌ!

    3. L'azione standard di $SO(2)$ su $S^1$ fedele.+

      NO!

    4. L'azione standard di $SO(2)$ su $S^1$ transitiva.+

      NO!

  7. Sia $X$ uno spazio topologico e $f$ una funzione $f\colon X\to S^0$. Quale delle seguenti affermazioni vera?
    1. Se $X$ connesso, allora esistono $x_1$, $x_2$ in $X$ tali che $f(x_1) \neq f(x_2)$.+

      NO!
      Se la funzione $f$ continua, allora certamente non possono esistere tali $x_1$, $x_2$. Se la funzione non continua, potrebbero esistere.

    2. Se $f$ continua, allora $X$ connesso.+

      NO!
      No, il dominio pu essere connesso o sconnesso, anche se $f$ continua.

    3. Se $f$ continua ed esiste $y_0\in S^0$ tale che $f^{-1}(y_0) \neq \emptyset$, allora $f^{-1}(y_0) =X$.+

      NO!
      Questa sarebbe stata la risposta giusta, ma a patto di assumere $X$ connesso. Dato che questa ipotesi non stata trascritta correttamente, anche questa affermazione falsa (per esempio, con $X=S^0$ e $f=1_X$).

    4. Se $f$ costante, allora $X$ connesso.+

      NO!
      Basta prendere una funzione costante $X=S^0 \to S^0$: non segue che $X$ connesso.

  8. Siano $X,Y,Z$ spazi topologici. Sia $X$ compatto e non connesso per archi, $Y$ compatto e connesso, $Z$ non compatto e connesso per archi. Allora lo spazio $X\times Y\times Z$ dotato di topologia prodotto...
    1. pu essere compatto.+

      NO!

    2. non pu non essere connesso.+

      NO!

    3. omeomorfo ad uno spazio topologico connesso per archi.+

      NO!

    4. pu essere connesso.+

      SÌ!

  9. Sia $X$ uno spazio topologico. Quale delle seguenti affermazioni falsa?
    1. $S^0$ connesso nella topologia banale.+

      NO!

    2. Gli intervalli $(a,b)=\{ x\in \mathbb{R} : a\lt x\lt b\}$ di $\mathbb{R}$ sono connessi in ogni topologia per cui essi sono aperti.+

      SÌ!

    3. Se $X\approx \mathbb{Q}$, allora $X$ ha una infinit numerabile di componenti connesse.+

      NO!

    4. Se $X$ connesso nella topologia discreta, allora $X$ un singleton oppure il vuoto.+

      NO!

  10. Sia $X$ uno spazio affine su $\mathbb{C}$ di dimensione $4$, e $\overrightarrow{S}\subset \overrightarrow{X}$ la giacitura di un sottospazio affine $S\subset X$ di dimensione $3$. Si dia a $X$ e a $\overrightarrow{X}$ la topologia di $\mathbb{C}^4$. Allora $\overrightarrow{S}$ agisce su $X$ e ...
    1. lo spazio quoziente $X/_{\overrightarrow{S}}$ omeomorfo a $\mathbb{C}$.+

      SÌ!

    2. per ogni retta $r\subset X$ esiste una traslazione $\boldsymbol{v} \in \overrightarrow{S}$ tale che $r+\boldsymbol{v}$ interseca $S$.+

      NO!

    3. esiste un piano affine in $X$ che ha un solo punto di intersezione con $S$.+

      NO!

    4. non esistono spazi affini di dimensione $3$ senza punti di intersezione con $S$.+

      NO!