1. Quale tra le seguenti famiglie $\beta$ di sottoinsiemi di $X$ non è una base per una topologia sull'insieme $X$ indicato?
    1. $X=\mathbb{N}$ e $\beta$ è la famiglia di sottoinsiemi del tipo $\{ k \in \mathbb{N} : k \leq N \}$, con $N\in \mathbb{Z}$.+

      NO!

    2. $X=\mathbb{N}$ e $\beta$ è la famiglia degli insiemi della forma $B_i = \{ ki : k \in \mathbb{N} \}$, con $i$ intero.+

      NO!

    3. $X=\mathbb{Z}$, e $\beta$ è la famiglia di intervalli del tipo $[a,b]$, con $a,b \in \mathbb{Z}$, $a\lt b$.+

      SÌ!

    4. $X=\mathbb{R}$ e $\beta$ è data dagli insiemi della forma $[1/n,n]$, con $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 1$.+

      SÌ!

  2. Sia $A=\{ x\in \mathbb{Q} : 0\lt x\lt 1 \}\subset \mathbb{Q}$. Quale dei seguenti sono ricoprimenti di $A$ da cui si può estrarre un sottoricoprimento finito di $A$?
    1. La famiglia degli intervalli del tipo $\{ x \in A : x \in (y-1/2,y+1/2), y \in \mathbb{Z}\}$.+

      NO!

    2. La famiglia degli intervalli del tipo $\{ x\in A : x \in (1/n,1-1/n)\}$, con $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 0$.+

      SÌ!

    3. La famiglia dei sottoinsiemi del tipo \[ \{ x\in A : x \not\in (\sqrt{3}-\dfrac{1}{n} ,\sqrt{3}+\dfrac{1}{n} ) \} \] al variare di $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 0$.+

      SÌ!

    4. La famiglia dei sottoinsiemi del tipo \[ \{ x \in A : x \not\in (\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{n}, \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{n} )\}, \] al variare di $n \in \mathbb{N}$, $n\gt 0$.+

      NO!

  3. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff.+

      NO!

    2. Ogni successione di Cauchy converge.+

      SÌ!

    3. Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff può essere aperto.+

      NO!

    4. Una funzione continua $f\colon X \to Y$ biunivoca da un compatto $X$ ad un Hausdorff $Y$ è un omeomorfismo.+

      NO!

  4. Uno spazio metrico $X$ è compatto se ...
    1. $X$ è chiuso e limitato.+

      NO!

    2. per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un sottoricoprimento finito di $X$.+

      SÌ!

    3. Per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un sottoricoprimento di $X$.+

      NO!

    4. Per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un ricoprimento finito di $X$.+

      NO!

  5. Data $f\colon X \to Y$ definita tra spazi topologici, quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alle altre?
    1. $f$ è continua.+

      NO!

    2. $\forall A\subset X$, $f(\overline{A}) \supset f(\overline{A})$.+

      SÌ!

    3. $\forall C\subset Y$ chiuso, $f^{-1}(C)$ è chiuso in $X$.+

      NO!

    4. Se $\mathcal{B}$ è una base per $Y$, allora per ogni elemento $B\in \mathcal{B}$, $f^{-1}(B)$ è aperto in $X$.+

      NO!

  6. Quale dei seguenti non è necessariamente un omeomorfismo?
    1. $f\colon [0,2\pi)\subset \mathbb{R} \to S^1\subset \mathbb{C}$, con $f(t) = e^{it/n} \in S^1$, con $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 0$.+

      SÌ!

    2. una funzione biunivoca, continua e chiusa.+

      NO!

    3. una funzione biunivoca, continua e aperta.+

      NO!

    4. una funzione biunivoca, continua e con inversa continua.+

      NO!

  7. Sia $X$ un insieme finito, con $n\gt 1$ elementi. Tra tutte le topologie possibili di $X$, quante sono quelle metrizzabili?
    1. $2^n$.+

      NO!

    2. $n!$.+

      NO!

    3. 1.+

      SÌ!

    4. tutte.+

      NO!

  8. Siano $F\colon X \to Y$ e $G\colon Y \to Z$ funzioni tra spazi topologici, tali che la composizione $G\circ F\colon X \to Z$ sia continua. Allora ...
    1. se $F$ è un omeomorfismo, allora $G$ è continua.+

      SÌ!

    2. se $G$ è continua, allora $F$ è continua.+

      NO!

    3. se $F$ è continua, allora $G$ è continua.+

      NO!

    4. $G\circ F$ è un omeomorfismo se solo se $G$ e $F$ sono entrambe omeomorfismi.+

      NO!

  9. Uno spazio topologico di Hausdorff è necessariamente ...
    1. compatto.+

      NO!

    2. metrizzabile.+

      SÌ!

    3. euclideo.+

      NO!

    4. nessuna delle altre risposte.+

      SÌ!

  10. Sia $C\subset X$ un sottoinsieme, con la topologia indotta, di uno spazio metrico $X$. Quali delle seguenti sono successioni in $C$ che ammettono una sottosuccessione che converge in $C$?
    1. Tutte e sole le successioni definitivamente costanti.+

      NO!

    2. Tutte le successioni in $C$.+

      NO!

    3. Tutte e sole le successioni crescenti in $C$.+

      NO!

    4. Tutte le successioni costanti in $C$.+

      SÌ!