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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Compitino 2011-06-06
  1. Sia $\pi$ un piano affine su un campo $\mathbb{K}$, e $r,l\subset \pi$ due rette distinte tali che $x\in \pi \Longrightarrow x\in l\cup r$. Allora...
    1. il campo $\mathbb{K}$ ha ordine $n\geq 3$.+

      NO!

    2. il piano $\pi$ non esiste.+

      NO!

    3. il piano $\pi$ contiene 6 rette.+

      SÌ!

    4. il piano $\pi$ contiene 6 punti.+

      NO!

  2. Quali delle seguenti coppie non può esistere?
    1. due piani sghembi in $\mathbb{A}^4(\mathbb{C})$.+

      NO!

    2. due piani che si intersecano in un solo punto in $\mathbb{A}^5(\mathbb{Q})$.+

      NO!

    3. un piano e una retta sghembi in $\mathbb{A}^3(\mathbb{R})$.+

      SÌ!

    4. un piano e una retta incidenti e paralleli in $\mathbb{A}^4(\mathbb{R})$.+

      NO!

  3. Individuare la proposizione falsa.
    1. Siano $l,r\subset X$ rette di uno spazio affine $X$. Allora esiste un unico piano affine $\pi$ che contiene sia $l$ che $r$.+

      SÌ!
      Se $l=r$ il piano non è unico. Se le rette sono sghembe, non ci sono piani che le contengono.

    2. Siano $l$ una retta e $P$ un punto di uno spazio affine $X$, con $P\not\in l$. Allora esiste un unico piano affine $\pi$ che contiene sia $l$ che $P$.+

      NO!

    3. Sia $l$ una retta di un piano affine reale. Allora $l$ non può incontrare tutti i lati di un triangolo senza toccarne i vertici.+

      NO!

    4. In un triangolo affine reale, il segmento che unisce i baricentri di due lati è parallelo al terzo lato.+

      NO!

  4. Sia $\mathbb{F}_3$ il campo con tre elementi $\mathbb{F}_3 = \mathbb{Z} / 3\mathbb{Z} = \{0,1,2\}$. Quale dei seguenti insiemi di punti non è una retta di $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_3)$)?
    1. $\{ (0,0), (2,1),(1,2) \}$.+

      NO!

    2. $\{ (0,1), (2,1), (1,2) \}$.+

      SÌ!

    3. $\{ (0,1), (1,1), (2,1) \}$.+

      NO!

    4. $\{ (0,1), (1,0), (2,2) \}$.+

      NO!

  5. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
    1. Tutte le mappe affini mandano terne di punti allineati in terne di punti allineati.+

      SÌ!

    2. Tutte le mappe affini mandano terne di punti non allineati in terne di punti non allineati.+

      NO!
      La mappa costante manda terne di punti non allineati in terne di punti coincidenti, e quindi allineati.

    3. Non esistono mappe non affini che mandano terne di punti allineati in terne di punti allineati.+

      NO!
      Si pensi a $\mathbb{A}^2(\mathbb{C})$ e alla mappa di coniugio, che non è affine ma manda terne di punti allineati in terne di punti allineati.

    4. Non esistono mappe non affini che mandano terne di punti non allineati in terne di punti non allineati.+

      NO!
      Si pensi a $\mathbb{A}^2(\mathbb{C})$ e alla mappa di coniugio, che non è affine ma manda terne di punti non allineati in terne di punti non allineati.

  6. Sia $A$ l'insieme delle riflessioni affini attorno una retta $r\subset \mathbb{A}^2(\mathbb{C})$, e $B$ l'insieme di tutte le affinità di $\mathbb{A}^2(\mathbb{C})$ che fissano tutti i punti della retta $r$. Allora...
    1. $A\cup \{ \mathrm{Id} \}$ è un sottogruppo di $B$, dove $\mathrm{Id}$ è l'indentità.+

      NO!
      Il prodotto di due riflessioni attorno $r$ non è una riflessione, ma non è nemmeno l'identità, se le riflessioni sono distinte.

    2. $A\cup \{\mathrm{Id}\}=B$, e $B$ è un gruppo.+

      NO!
      La composizione di due riflessioni affini attorno $r$ è sì un elemento di $B$, ma non è un elemento di $A$.

    3. Sia $Q$ un punto di $\mathbb{A}^2(\mathbb{C})$ tale che $Q\not\in r$. La funzione $f\colon B \to \mathbb{A}^2(\mathbb{C})$ definita ponendo, per ogni $g\in B$, $f(g) = g(Q)$ è una funzione suriettiva.+

      NO!
      Se $P\in r$, non esiste una affinità $g$ che fissa $r$ (e quindi $P$), e che manda $Q$ in $P$. Quindi $f(g) = g(Q) \neq P$ per ogni $g$, cioè $f$ non è suriettiva.

    4. $A\cup \{\mathrm{Id}\}\subset B$, e $B$ è un gruppo.+

      SÌ!

  7. Quale delle seguenti affermazioni su un sottospazio affine $S$ di dimensione $s$ di $\mathbb{A}^n(\mathbb{K})$ è falsa?
    1. Se $\dim S = s$, allora esiste un sistema di $n-s$ equazioni in $n$ incognite le cui soluzioni sono le coordinate di tutti e soli i punti di $S$.+

      NO!

    2. Esiste una mappa affine e suriettiva $f\colon \mathbb{A}^n(\mathbb{K}) \to \mathbb{A}^s(\mathbb{K})$ per cui $S=\{x\in \mathbb{A}^n(\mathbb{K}) : f(x) = 0 \}$.+

      SÌ!

    3. $S$ contiene l'origine di $\mathbb{A}^n(\mathbb{K})$ se e soltanto se è soluzione di un sistema di equazioni omogeneo.+

      NO!

    4. C'è una corrispondenza biunivoca tra i punti di $S$ e i vettori della sua giacitura.+

      NO!

  8. Sia $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$ lo spazio affine, munito della topologia di $\mathbb{C}^n$. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. Tutte le mappe affini definite su $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$ sono continue.+

      NO!

    2. Tutte le affinità $f\colon \mathbb{A}^n(\mathbb{C})$ sono omeomorfismi.+

      NO!

    3. Tutti i sottospazi affini di $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$ sono chiusi in $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$.+

      NO!

    4. Tutte le traslazioni di $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$ in sé sono continue, biunivoche ma esistono traslazioni la cui inversa non è continua.+

      SÌ!

  9. Siano $f$ e $g$ due rotazioni non banali di $\mathbb{E}^2$ con centri rispettivamente in $A$ e $B$. Allora:
    1. Si ha che $fg=gf$ se e solo se $A = B$.+

      SÌ!
      Se $A=B$, allora $fg=gf$ dato che $SO(2)$ è commutativo. Se $fg=gf$, allora $fg(A) = gf(A)=g(A)$ $\Longrightarrow$ $g(A)$ è fissato da $f$ (che fissa solo $A$) $\Longrightarrow$ $g(A) = A$ $\Longrightarrow$ $A$ è fissato da $g$ (che fissa solo $B$) $\Longrightarrow$ $A=B$.

    2. Se $f^2g^2 = g^2 f^2 $, allora $gf = fg$.+

      NO!
      Se $f$ e $g$ sono rotazioni di angolo $\pi$ con centri diversi $A\neq B$, allora $f^2=g^2=1$, e quindi $f^2g^2 = g^2f^2$. In coordinate: $f(x) = 2A-x$, $g(x) = 2B -x$. Quindi $gf(x) = g( 2A-x) = 2B- (2A-x) = 2B-2A + x$, mentre $fg(x) = f(2B-x) = 2A - (2B-x) = 2A-2B + x$, che possono essere uguali solo se $B-A = A-B$ $\iff$ $A=B$.

    3. Esiste sempre un intero $n$ tale che $f^n = 1$, dove $f^n = f\circ f \circ \ldots \circ f$ (composizione $n$ volte).+

      NO!
      Si consideri una rotazione di angolo $\sqrt{2}\pi$, o intero (in radianti): non ha ordine finito.

    4. La funzione $x \mapsto \dfrac{f(x) + g(x)}{2}$ è ben definita in $\mathbb{E}^2$ ed è sempre una isometria.+

      NO!
      Sia $g(x) = - f(x) + v$, con $v$ vettore fissato (è una rotazione), ma $\dfrac{f(x) + g(x)}{2} = \dfrac{v}{2}$, cioè la funzione $x\mapsto \dfrac{f(x) + g(x)}{2}$ è costante e non può certamente essere una isometria.

  10. Quale delle seguenti affermazioni è falsa:
    1. Ogni rotazione del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ può essere scritta come una rotazione che fissa l'origine seguita da una traslazione.+

      NO!

    2. Ogni isometria del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ è composizione di al più tre riflessioni attorno rette.+

      NO!

    3. La composizione di due riflessioni del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ attorno due rette parallele distinte è una traslazione non banale.+

      NO!

    4. Ogni isometria del piano è composizione di rotazioni (con centri eventualmente distinti) e traslazioni.+

      SÌ!
      Infatti, le riflessioni non si scrivono come rotazioni seguite da traslazioni.