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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2017-06-12
  1. Uno spazio vettoriale \( V \) è un gruppo abeliano su cui è definita l'operazione di prodotto per uno scalare di un campo $\mathbb{K}$ tale che:
    1. $\forall k\in \mathbb{K}$, $\forall \vv \in V$, $k\vv \in V$. $\forall k_1,k_2 \in \mathbb{K}$, $\forall \vv \in V$, \[ \begin{aligned} & (k_1 + k_2) \vv = k_1 \vv + k_2 \vv\\ & 1\vv = \vv \end{aligned} \]+

      SÌ!

    2. $\forall k\in \mathbb{K}$, $\forall \vv \not\in V$, $k\vv \in V$. $\forall k_1,k_2 \in \mathbb{K}$, $\forall \vv \in V$, \[ \begin{aligned} & (k_1 + k_2) \vv \neq k_1 \vv + k_2 \vv\\ & 1\vv = \vv \end{aligned} \]+

      NO!

    3. $\forall k\in \mathbb{K}$, $\forall \vv \in V$, $k\vv \in \mathbb{K}$. $\forall k_1,k_2 \in \mathbb{K}$, $\forall \vv \in V$, \[ \begin{aligned} & (k_1 + k_2) \vv \neq k_1 \vv + k_2 \vv\\ & 1\vv = \vv \end{aligned} \]+

      NO!

    4. $\forall k\in \mathbb{K}$, $\forall \vv \in V$, $k\vv \in \mathbb{K}$. $\forall k_1,k_2 \in \mathbb{K}$, $\forall \vv \in V$, \[ \begin{aligned} &(k_1 + k_2) \vv = k_1 \vv + k_2 \vv\\ &1\vv = \vv \end{aligned} \]+

      NO!

  2. Sia $X$ un piano affine. Allora non è vero che:
    1. per due punti distinti $p,q\in X$ passa una unica retta.+

      NO!

    2. esistono almeno quattro punti di $X$ che non contengono terne di punti allineati.+

      NO!

    3. per ogni retta $r$ e punto $A\not\in r$, esistono almeno due rette passanti per $A$ e parallele a $r$.+

      SÌ!

    4. $\dim(X) = 2$.+

      NO!

  3. Quale delle seguenti è falsa?
    1. Ogni retta del piano affine ha uno e un solo punto all'infinito in qualsiasi chiusura proiettiva.+

      NO!

    2. Due rette distinte del piano proiettivo $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ si incontrano sempre in un unico punto.+

      NO!

    3. Una retta e un piano che non la contiene, in uno spazio proiettivo $\mathbb{P}^3(\mathbb{K})$, non si incontrano mai.+

      SÌ!

    4. Due omomorfismi $F,G\colon V \to W$ iniettivi inducono la medesima $f\colon \mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(W)$ se e soltanto se esiste $\lambda \in \mathbb{K}^*$ tale che $G=\lambda F$.+

      NO!

  4. Se $X$ è un piano affine, $A$ un punto di $X$ e $r$ una retta in $X$ con $A\not\in r$, allora:
    1. $\exists!$ retta $s$ in $X$ tale che $s\cap r = \emptyset ~ \& ~ A\in s$.+

      SÌ!

    2. $\exists!$ retta $s$ in $X$ tale che $s\cap r \neq \emptyset$.+

      NO!

    3. $\exists!$ rette $s$ e $t$ in $X$ tali che $s\neq t$, $s\cap r\neq \emptyset \wedge t\cap r \neq \emptyset$ con $t\ni A \in s$.+

      NO!

    4. $\exists!$ retta $s$ in $X$ tale che $s\cap r \neq \emptyset ~\& ~ A\not\in s$.+

      NO!

  5. Segnare l'affermazione errata:
    1. Le proiezioni non sono mappe affini.+

      SÌ!

    2. Le traslazioni sono mappe affini.+

      NO!

    3. Le funzioni costanti sono mappe affini.+

      NO!

    4. Le riflessioni sono mappe affini.+

      NO!

  6. Sia $\mathbb{K}$ un campo di ordine $n$. Allora una retta proiettiva ha:
    1. $n$ punti.+

      NO!

    2. infiniti punti.+

      NO!

    3. $n^2$ punti.+

      NO!

    4. $n+1$ punti.+

      SÌ!

  7. Sia $f\colon \mathbb{E}^n \to \mathbb{E}^n$, $f(\vx) = A\vx + \vb$ ($A\in \mathrm{Mat}(n\times n, \mathbb{R})$, $\vb \in \mathbb{R}^n$) un'isometria. Quale delle seguenti non è necessariamente vera? (Il simbolo ${\trasposta{A}$ indica la trasposta di $A$)}
    1. Se $\det \vect{f} \lt 1 $ allora $f$ è una isometria inversa.+

      NO!

    2. Se $n=3$ e $\vb=\zero$, allora $\exists \vv \in \mathbb{E}^n$, $\vv \neq \zero$: $f(\vv) = \vv$.+

      NO!

    3. Se $n=2$, allora $\exists ! \vx : f(\vx) = \vx$.+

      SÌ!

    4. $g\colon \mathbb{E}^n \to \mathbb{E}^n$, $g(\vx) = A({\trasposta{A}} \vx ) + \vb $ è una traslazione.+

      NO!

  8. Tre punti $A,B,C$ di uno spazio affine di dimensione $\geq 3$ giaccino su uno stesso piano se e solo se:
    1. I vettori $\vect{AB}$ e $\vect{AC}$ sono linearmente indipendenti.+

      NO!

    2. I vettori $\vect{AB}$ e $\vect{AC}$ non sono linearmente indipendenti.+

      NO!

    3. $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$.+

      SÌ!

    4. $A$, $B$, e $C$ non sono allineati.+

      NO!

  9. La retta di equazione $200u + 27x = 0$ in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ ha per punti all'infinito (in coordinate omogenee $[u:x:y]$, e retta all'infinito $u=0$):
    1. $[0:0:1]$.+

      SÌ!

    2. $[1:0:0]$.+

      NO!

    3. $[0:200:27]$.+

      NO!

    4. $[0:-200:27]$.+

      NO!

  10. Se $\displaystyle F= \begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{bmatrix}$, allora $F$ induce una proiettività $f\colon \mathbb{P}^2(\mathbb{Q}) \to \mathbb{P}^2(\mathbb{Q})$ tale che
    1. $f([1:1:1]) = [1:1:1]$.+

      SÌ!

    2. $f([1:0:0]) = [1:0:0]$.+

      NO!

    3. $f([0:1:0]) = [0:1:0]$.+

      NO!

    4. $f([0:0:1]) = [0:0:1]$.+

      NO!