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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2015-06-08
  1. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. Ogni isometria del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ è compisizione di rotazioni (con centri eventualmente distinti) e traslazioni.+

      SÌ!

    2. Ogni isometria del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ è composizione di al più tre riflessioni attorno a rette.+

      NO!

    3. La composizione di due riflessioni del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ attorno a due rette parallele distinte è una traslazione non banale.+

      NO!

    4. Ogni rotazione del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ può essere scritta come una rotazione che fissa l'origine seguita da una traslazione.+

      NO!

  2. Quali sono omeomorfi?
    1. $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ e un disco aperto.+

      SÌ!

    2. $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ e la sfera $S^2$.+

      NO!

    3. $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ e la circonferenza $S^1$.+

      NO!

    4. nessuna delle altre risposte.+

      NO!

  3. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. Se $f\colon X \to Y$ è una funzione affine, allora non è una funzione costante.+

      SÌ!

    2. Se $f\colon X \to Y$ è una traslazione, allora è una mappa affine.+

      NO!

    3. Se $f\colon X \to X$ è l'identità, allora è una mappa affine oppure è una funzione costante.+

      NO!

    4. Se $X$ e $Y$ sono due spazi affini su campo $\mathbb{K}$ con la stessa dimensione, allora sono tra loro isomorfi.+

      NO!

  4. Siano $S,T\subseteq X$ sottospazi affini di $X$. Se $S\cap T \neq \emptyset$ allora $S\cap T$ è un sottospazio affine di $X$, la cui dimensione soddisfa sempre :
    1. $\dim(S) + \dim(T) \leq \dim(X) + \dim(S\cap T)$.+

      SÌ!

    2. $\dim(S) + \dim(T) \leq \dim(X)$.+

      NO!

    3. $\dim(S\cap T) = \dim(S) + \dim(T)$.+

      NO!

    4. $\dim(X) + \dim(S\cap T) = \dim(S) + \dim(T)$.+

      NO!

  5. Quale tra le seguenti non è una affinità?
    1. Una proiezione parallela su un sottospazio di codimensione positiva.+

      SÌ!

    2. La funzione identià.+

      NO!

    3. Una traslazione.+

      NO!

    4. Una riflessione.+

      NO!

  6. Sia $f\colon X \to Y$ una mappa affine. Quale tra le seguenti affermazioni non è corretta per ogni $f$?
    1. $f$ è un isomorfismo affine se e solo se è suriettiva.+

      SÌ!

    2. L'immagine di una retta è una retta o un punto.+

      NO!

    3. L'immagine di un sottospazio affine di $X$ è un sottospazio affine di $Y$.+

      NO!

    4. $f$ conserva il rapporto tra tre punti allineati.+

      NO!

  7. Sia $F\colon V \to W$ un omomorfismo iniettivo di spazi vettoriali, e $f\colon \mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(W)$ la funzione indotta sugli spazi proiettivi corrispondenti. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
    1. Se $V=W$, allora $f$ è una proiettività.+

      SÌ!

    2. Per ogni $v \in V-\{0\}$, $f([v]) = F(v)$+

      NO!

    3. Esiste una unica $F\colon V \to W$ che induce una data funzione proiettiva $f\colon \mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(W)$.+

      NO!

    4. La funzione proiettiva $f$ non può mai essere un isomorfismo.+

      NO!

  8. Siano $r$ e $l$ due rette di $\mathbb{E}^4$ non complanari. Il numero di rette ortogonali ed incidenti sia a $r$ che a $l$ è:
    1. uno.+

      SÌ!

    2. zero.+

      NO!

    3. due.+

      NO!

    4. infinito.+

      NO!

  9. Se $\mathbb{K}$ è un campo con un numero finito $k$ di elementi, il numero di punti impropri del piano proiettivo $\mathbb{P}^2(\mathbb{K})$ è:
    1. $k+1$.+

      SÌ!

    2. $k$.+

      NO!

    3. $k-1$.+

      NO!

    4. nessuna delle altre risposte.+

      NO!

  10. Se $A$, $B$ e $C$ sono tre punti non allineati in uno spazio proiettivo $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$ su campo $\mathbb{K}$, allora la funzione $f\colon \mathbb{P}^2(\mathbb{K}) \to \mathbb{P}^n(\mathbb{K}) $ definita da $f( t_0,t_1,t_2 ) = [t_0A + t_1B + t_2C]$ non è :
    1. un isomorfismo affine.+

      SÌ!

    2. ben definita.+

      NO!

    3. una funzione proiettiva.+

      NO!

    4. una parametrizzazione proiettiva del piano che passa per i tre punti $A$, $B$ e $C$.+

      NO!