» Home Page
Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2013-06-10
  1. Sia $X=\mathbb{A}^n(\mathbb{R})$. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
    1. Una isometria di $X$ in $X$ è una biiezione tale che $\forall A,B \in X$, $\lVert{f(A) - f(B)}\rVert = \lVert{A-B}\rVert$.+

      NO!

    2. Una isometria è un isomorfismo affine.+

      NO!

    3. Una traslazione è una isometria.+

      NO!

    4. Un isomorfismo affine è una isometria.+

      SÌ!

  2. Sia $S\subset \mathbb{A}^n(\mathbb{K})$ un sottospazio affine di dimensione $d$, tale che esista una mappa affine $f\colon \mathbb{A}^n(\mathbb{K}) \to \mathbb{A}^{n-d}(\mathbb{K})$ per cui $S=\{ x\in \mathbb{A}^n(\mathbb{K}) : f(x) = 0 \} $. Allora la funzione $f$ è:
    1. Una affinità.+

      NO!

    2. Una mappa affine iniettiva.+

      NO!

    3. Una mappa affine suriettiva.+

      SÌ!

    4. Un isomorfismo affine.+

      NO!

  3. Due sottospazi affini $S,T \subset X$ di uno spazio affine $X$ sono paralleli se e soltanto se
    1. $S\subset T$.+

      NO!

    2. $S\cap T = \emptyset$.+

      NO!

    3. $\overrightarrow{S} \cap \overrightarrow{T} = \emptyset$.+

      NO!

    4. $\overrightarrow{S} \subset \overrightarrow{T}$ oppure $\overrightarrow{T} \subset \overrightarrow{S}$.+

      SÌ!

  4. Quale tra le seguenti non è una mappa affine?
    1. $f\colon \mathbb{A}^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ definita da $f(z) = \overline{z}$.+

      SÌ!

    2. $f\colon \mathbb{A}^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ definita da $f(z) = 5z+b$.+

      NO!

    3. $f\colon \mathbb{A}^2(\mathbb{R}) \to \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ definita da $f(\vx) = \vx + \vb$, con $\vb \in \mathbb{R}^2$.+

      NO!

    4. $f\colon \mathbb{A}^3(\mathbb{C}) \to \mathbb{A}^3(\mathbb{C})$ definita da $f(\vx) = \zero$.+

      NO!

  5. Nello spazio affine $\mathbb{A}^4(\mathbb{R})$ è sempre possibile trovare:
    1. due iperpiani sghembi.+

      NO!

    2. un piano e una retta sghembi.+

      SÌ!

    3. una retta e un iperpiano sghembi.+

      NO!

    4. un piano e un iperpiano sghembi.+

      NO!

  6. Si consideri il gruppo $G = \{ g \colon \mathbb{E}^2 \to \mathbb{E}^2 : g(x) = A\vx + \vb, \text{ con } A\in SO(2), \ \vb\in \mathbb{R}^2 \}$. Sia $I_2$ la matrice identica $2\times 2$. Quale affermazione è falsa?
    1. Ogni elemento non banale di $G$ è una rotazione attorno ad un punto di $\mathbb{E}^2$ o una traslazione.+

      NO!

    2. La composizione in $G$ è una operazione commutativa e associativa.+

      SÌ!

    3. Ogni elemento di $G$ con $A\neq I_2$ fissa un unico punto di $\mathbb{E}^2$.+

      NO!

    4. Se $g\in G$ non è una traslazione, allora il punto fissato da $g$ è $\vx_0 = (I_2 -A)^{-1}\vb$.+

      NO!

  7. Sia $\pi$ la proiezione di $\mathbb{A}^n(\mathbb{K})$ sul sottospazio affine $S\subset \mathbb{A}^n(\mathbb{K})$, parallela al sottospazio $W\subset \mathbb{K}^n$. Quale delle seguenti proprietà è falsa?
    1. $\pi (s) = s$ per ogni $s\in S$.+

      NO!

    2. $\pi$ è una mappa affine.+

      NO!

    3. $\pi$ è iniettiva.+

      SÌ!

    4. $\pi$ è suriettiva.+

      NO!

  8. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ è omeomorfo ad un segmento con gli estremi identificati ad un punto.+

      NO!

    2. $\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)$ è omeomorfo a $S^2$.+

      NO!

    3. $\mathbb{P}(\mathbb{R}^2)$ è omeomorfo a $S^1 = \{ z \in \mathbb{C} : \lVert{z}\rVert^2 = 1 \}$, quozientato rispetto alla relazione di equivalenza $z\sim w \iff z^2 = w^2$.+

      NO!

    4. $\mathbb{P}^3(\mathbb{R})$ è omeomorfo al toro.+

      SÌ!

  9. Se $S,T\subset \mathbb{P}^n(\mathbb{K})$ sono due sottospazi proiettivi tali che $\dim(S) + \dim(T) \geq n$, allora :
    1. $S \cap T \neq \emptyset$.+

      SÌ!

    2. $S$ e $T$ sono paralleli.+

      NO!

    3. Se $V$ e $W$ sono i sottospazi vettoriali di $\mathbb{K}^{n+1}$ tali che $\mathbb{P}(V) = S$ e $\mathbb{P}(W) = T$, allora $V+W = \mathbb{K}^{n+1}$.+

      NO!

    4. $\dim( S \cap T ) = 0$.+

      NO!

  10. Siano $A$, $B$, $C$ tre sottospazi affini di $\mathbb{A}^6(\mathbb{K})$, di dimensioni rispettivamente $1$, $2$ e $3$, e $r$ una retta (sottospazio di dimensione $1$) in $\mathbb{A}^6(\mathbb{K})$. Supponiamo che $A\cap B \neq \emptyset$, $B\cap C \neq \emptyset$, $A\cap r \neq \emptyset$ e $C\cap r = \emptyset$. Quale delle seguenti affermazioni segue dalle ipotesi?
    1. $A\cap C \neq \emptyset$.+

      NO!

    2. $r$ e $C$ sono paralleli.+

      NO!

    3. Esiste una coppia $(x,y ) \in \{ A,B,C\}\times \{ A,B,C\}$ tale che $\dim(x) \lt \dim (y)$, $x\cap y \neq \emptyset$, $x\cap r \neq \emptyset$ e $y\cap r = \emptyset$.+

      SÌ!

    4. Nessuna delle altre risposte.+

      NO!