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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2016-05-09
  1. Quale delle seguenti affermazioni non è necessariamente vera, se $X$ è uno spazio affine di dimensione $n\geq 1$?
    1. Due rette in $X$ coincidono se e solo se coincidono le loro giaciture e hanno un punto in comune.+

      NO!

    2. Per due punti distinti di $X$ passa una e una sola retta.+

      NO!

    3. Esistono almeno 4 punti che non contengono tre punti allineati.+

      SÌ!

    4. Per tre punti non allineati non è vero che passa una e una sola retta.+

      NO!

  2. Uno spazio topologico $X$ è connesso se :
    1. Gli unici sottoinsiemi di $X$ simultaneamente aperti e chiusi sono $\emptyset$ e $X$.+

      SÌ!

    2. L'unico sottoinsieme sia aperto che chiuso è l'insieme vuoto.+

      NO!

    3. L'unico sottoinsieme sia aperto che chiuso è $X$.+

      NO!

    4. Non esistono sottoinsiemi di $X$ sia aperti che chiusi.+

      NO!

  3. Quale delle seguenti affermazioni non è necessariamente vera, se $X$ è uno spazio affine di dimensione $n\geq 1$?
    1. Un sottospazio affine $S\subset X$ che contiene $d$ punti è generato da $d+1$ punti indipendenti dal punto di vista affine.+

      SÌ!

    2. Un sottospazio affine $S\subset X$ è identificato da uno qualsiasi dei suoi punti e dalla giacitura.+

      NO!

    3. Le rette sono i sottospazi di dimensione $1$ di $X$.+

      NO!

    4. Per due punti distinti di $X$ passa una e una sola retta.+

      NO!

  4. Sia $X=\mathbb{R}^n$, e $C\subset X$ un suo sottoinsieme. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. $C$ è compatto se e solo se $C$ è chiuso e limitato.+

      NO!

    2. $C$ è compatto se ogni successione in $C$ ha una sottosuccessione convergente in $C$.+

      NO!

    3. se $C$ è compatto allora $C$ è limitato.+

      NO!

    4. $C$ è compatto se ogni successione di Cauchy in $C$ ha una sottosuccessione convergente in $C$.+

      SÌ!

  5. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. $O(n) = \{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : A^t A = A A^t = I_n \}$.+

      NO!

    2. $SO(n) = \{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : A^t A = A A^t = I_n \wedge \det(A)=1\}$.+

      NO!

    3. $O(n) = \{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : A^t A = A A^t = I_n \wedge \det(A)=\pm 1\}$.+

      NO!

    4. $SO(n) = \{ A \in GL(n,\mathbb{R}) : \det(A)=1\}$.+

      SÌ!

  6. Sia $X$ uno spazio metrico. Quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alle altre?
    1. $X$ è compatto.+

      NO!

    2. $X$ è compatto per successioni.+

      NO!

    3. Ogni insieme finito di punti in $X$ ha un punto di accumulazione in $X$.+

      SÌ!

    4. Ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente in $X$.+

      NO!

  7. Sia $X$ uno spazio metrico. Allora $X$ non è completo se:
    1. Ogni successione di Cauchy in $X$ ammette una sottosuccessione convergente.+

      NO!

    2. $X$ è compatto.+

      NO!

    3. $X=\mathbb{R}^n$ con $n\geq 1$.+

      NO!

    4. $X=\mathbb{Q}$.+

      SÌ!

  8. Si osservi che se $q_n$ è una successione di razionali che tende a un irrazionale, l'insieme $X=\{q_n:n\in \mathbb{N}\}\subset \mathbb{Q}$ è chiuso in $\mathbb{Q}$ ma non lo è come sottoinsieme di $\mathbb{R}$. Si osservi anche che l'insieme $\{\dfrac{1}{n} : n\in \mathbb{N}, n\gt 0 \}\cup \{0\} \subset \mathbb{R}$ è chiuso in $\mathbb{R}$. Detto ciò, la domanda è la seguente. I compatti dello spazio metrico $\mathbb{Q}$ sono tutti e soli:
    1. I punti di $\mathbb{Q}$.+

      NO!

    2. I sottoinsiemi finiti di $\mathbb{Q}$.+

      NO!

    3. Tutti i sottoinsiemi chiusi in $\mathbb{Q}$ e limitati.+

      NO!

    4. Nessuna delle altre risposte.+

      SÌ!

  9. Dato un piano $\pi$ e una retta $r$ in uno spazio affine di dimensione $n\geq 3$, quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. $\pi$ e $r$ possono essere paralleli.+

      NO!

    2. $\pi$ e $r$ possono avere infiniti punti di intersezione.+

      NO!

    3. $\pi$ e $r$ possono essere sghembi.+

      NO!

    4. $\pi$ e $r$ hanno la stessa dimensione.+

      SÌ!

  10. Quale delle seguenti affermazioni non è necessariamente vera?
    1. Se $f\colon [a,b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione continua, allora $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$.+

      NO!

    2. Se $f\colon [a,b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione continua tale che $f(a)f(b)\lt 0$, allora esiste $x_0\in (a,b)$ tale che $f(x_0)=0$.+

      NO!

    3. Se $X$ è connesso per archi, allora $X$ è connesso.+

      NO!

    4. L'unione di insiemi connessi è connessa.+

      SÌ!