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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2013-05-13
  1. Quale tra i seguenti insiemi non è connesso (nella topologia metrica)?
    1. L'insieme $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy=1 \}$.+

      SÌ!

    2. L'insieme $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \gt 1 \}$.+

      NO!

    3. L'insieme $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1 \} - (0,1)$.+

      NO!

    4. La palla aperta $B_{1/2}(1)$ in $\mathbb{R}$ con la metrica standard.+

      NO!

  2. Quale tra i seguenti spazi non è omeomorfo agli altri?
    1. L'intervallo $[0,1]\subset \mathbb{R}$ con il bordo (la frontiera $\{0,1\}$) identificato ad un punto.+

      NO!

    2. Lo spazio quoziente $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, rispetto all'azione del gruppo $G=\mathbb{Z}$ su $X=\mathbb{R}$ dato da $k\cdot x = k+x$ per $k\in \mathbb{Z}$ e $x\in \mathbb{R}$.+

      NO!

    3. Il gruppo $SO(2)$ delle matrici ortogonali con determinante $1$.+

      NO!

    4. L'intervallo $[0,1)\subset \mathbb{R}$.+

      SÌ!

  3. Per quale delle seguenti funzioni esiste un punto $x\in X$ tale che $f(x) = 0$?
    1. $f\colon X=\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$, definita da $f(x) = 2x^2-1$.+

      NO!

    2. $f\colon X = \{ x\in \mathbb{R} : 1\leq x\leq 2 \} \to \mathbb{R}$, definita da $f(x) = 2x^2 - 1$.+

      NO!

    3. $f\colon X = \{ x \in \mathbb{R}: 1 \leq x \leq 2 \} \to \mathbb{R}$, definita da $f(x) = 3x^2 - 4 + \sin(x)$.+

      SÌ!

    4. $f\colon X = \{ x \in \mathbb{R} : -1\lt x\lt 1\} \to \mathbb{R}$, definita da $f(x) = (x^2-1)\cos(\frac{\pi}{2}x)$.+

      NO!

  4. Sia $X$ uno spazio topologico. Quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alle altre?
    1. $X$ è connesso.+

      NO!

    2. Non esistono due aperti $A,B$ di $X$ tali che $X=A\cup B$.+

      SÌ!

    3. $X$ e $\emptyset$ sono gli unici sottoinsiemi di $X$ simultaneamente aperti e chiusi.+

      NO!

    4. $X$ ha una unica componente connessa.+

      NO!

  5. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. $O(n)$ è di Hausdorff per ogni $n\geq 1$.+

      NO!

    2. $O(n)$ è compatto per ogni $n\geq 1$.+

      NO!

    3. $O(n)$ è connesso per ogni $n\geq 1$.+

      SÌ!

    4. $O(n)$ è metrizzabile per ogni $n\geq 1$.+

      NO!

  6. Le componenti connesse di uno spazio topologico $X$ sono:
    1. I sottospazi connessi di $X$.+

      NO!

    2. I sottospazi di $X$ non contenuti propriamente in sottospazi connessi di $X$.+

      NO!

    3. I sottospazi sia aperti che chiusi di $X$.+

      NO!

    4. I sottospazi connessi di $X$ non contenuti propriamente in sottospazi connessi di $X$.+

      SÌ!

  7. Quale di queste implicazioni è vera?
    1. Se $X$ è connesso, allora $X$ è connesso per archi.+

      NO!

    2. Se $X$ è compatto, allora $X$ è connesso per archi.+

      NO!

    3. Se $X$ è connesso per archi, allora $X$ è connesso.+

      SÌ!

    4. Se $X$ è connesso per archi, allora $X$ è compatto.+

      NO!

  8. Sia $X$ uno spazio topologico connesso, con più di un punto. Quale delle seguenti affermazioni non è vera?
    1. Se $Y$ è omeomorfo a $X$, allora $Y$ è connesso.+

      NO!

    2. $X$ è unione disgiunta delle sue componenti connesse, e se $X$ è compatto allora ogni componente connessa di $X$ è chiusa in $X$.+

      NO!

    3. Ogni funzione continua $f\colon X \to S^0$ è costante.+

      NO!

    4. $X$ è necessariamente connesso per archi.+

      SÌ!

  9. Sia $f \colon \mathbb{A}^1(\mathbb{Q}) \to \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ la funzione definita da \( f(t) = e^{it}. \) Allora...
    1. La funzione $f$ è iniettiva.+

      SÌ!

    2. Nessuna delle altre risposte.+

      NO!

    3. L'immagine di $f$ in $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ è una retta affine.+

      NO!

    4. La controimmagine $f^{-1}(1)\subset \mathbb{A}^1(\mathbb{Q})$ è una retta affine.+

      NO!

  10. Su $\mathbb{Q}$ si consideri la base formata dai sottoinsiemi $X_m = \{ x \in \mathbb{Q} : mx \in \mathbb{Z}\}$, per $m\in \mathbb{N}$, $m\geq 1$. Allora $\mathbb{Q}$, con la topologia generata dalla base $\{ X_m\}$, è ...
    1. connesso ma non compatto.+

      SÌ!

    2. compatto ma non connesso.+

      NO!

    3. connesso e compatto.+

      NO!

    4. né connesso, né compatto.+

      NO!