» Home Page
Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Compitino 2011-04-11
  1. Un sottoinsieme $U$ di uno spazio metrico $X$ si dice intorno di $x_0\in U$ se
    1. $\exists \delta\gt 0 : B_\delta(x_0) \subset U$.+

      S!

    2. $U=B_\delta(x_0) = \{ x\in X : d(x,x_0)\lt \delta) \}$.+

      NO!

    3. $\forall \delta\gt 0$, $B_\delta(x_0) \subset U$.+

      NO!

    4. $U=B_\delta(x_0)$ quando $U$ aperto in $X$.+

      NO!

  2. La chiusura $\overline{A}$ di un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $X$ :
    1. l'insieme di tutti i punti di accumulazione di $A$ in $X$.+

      NO!

    2. il pi piccolo sottoinsieme chiuso di $X$ che contiene $A$.+

      S!

    3. il pi piccolo sottoinsieme di $X$ che contiene tutti i punti di accumulazione di $A$ in $X$.+

      NO!

    4. l'intersezione tra il pi piccolo sottoinsieme chiuso di $X$ che contiene $A$ e il pi piccolo sottoinsieme chiuso di $X$ che contiene tutti i punti di accumulazione di $A$ in $X$.+

      NO!

  3. La funzione $f$ necessariamente un omeomorfismo se...
    1. $f\colon X \to Y$ biunivoca e continua.+

      NO!

    2. $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ biunivoca e continua.+

      S!

    3. $f\colon X \to Y$ biunivoca e continua, con inversa $f^{-1} \colon Y \to X$ aperta o chiusa.+

      NO!

    4. $f\colon X \to Y$ aperta o chiusa.+

      NO!

  4. Sia $X$ compatto e $Y$ Hausdorff; sia $f\colon X \to Y$ una funzione continua e suriettiva. Allora la funzione $f$ sempre:
    1. aperta.+

      NO!

    2. chiusa.+

      S!

    3. iniettiva.+

      NO!

    4. biunivoca.+

      NO!

  5. Quale delle seguenti affermazioni sulla convergenza falsa?
    1. Se $X$ ha la topologia banale, allora ogni successione in $X$ converge ad ogni punto di $X$.+

      NO!

    2. Se $X$ di Hausdorff, allora quando esiste il limite di una successione, questo unico.+

      NO!

    3. Se $X$ uno spazio topologico compatto, allora ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente in $X$.+

      S!
      Non vero che se $X$ uno spazio topologico compatto, allora compatto per successioni, in generale.

    4. Se $X$ uno spazio metrico con un numero finito di punti, allora ogni successione convergente definitivamente costante.+

      NO!
      Se $X=\{-1,+1\}$ ha la topologia banale, allora la successione $(-1)^n$ converge ad entrambi i punti ma non definitivamente costante. Ma se metrico questo non pu succedere.

  6. Quale delle seguenti affermazioni falsa? Per ogni spazio metrico $X$,
    1. gli insiemi finiti non sono aperti.+

      S!
      In uno spazio metrico discreto gli insiemi finiti sono aperti.

    2. $\emptyset$ e $X$ sono aperti.+

      NO!

    3. l'intersezione finita di aperti un aperto.+

      NO!

    4. l'intersezione infinita di aperti pu essere un aperto.+

      NO!
      Ci sono spazi metrici in cui l'intersezione infinita di aperti pu essere un aperto: sia quelli discreti, ma anche in $\mathbb{R}$, l'intersezione di una famiglia qualsiasi di aperti la cui intersezione vuota, un aperto.

  7. Sia $f\colon X \to Y$ una funzione continua tra spazi topologici. Allora:
    1. la controimmagine di ogni intorno circolare in $Y$ un intorno circolare in $X$.+

      NO!

    2. $\forall A\subset Y$ aperto, $f^{-1}(A)$ aperto in $X$.+

      S!

    3. $\forall A\subset X$ aperto, $f(A)$ aperto in $Y$.+

      NO!

    4. $f$ un omeomorfismo se e solo se $f$ biunivoca.+

      NO!

  8. Sia $\mathcal{B} \subset 2^X$ una base per $X$. Una delle seguenti proposizioni non vera.
    1. $\forall x\in X$, $\exists B\in \mathcal{B}$ tale che $x\in B$.+

      NO!

    2. Se $B_1$, $B_2 \in \mathcal{B}$ e $x\in B_1\cap B_2$, allora $\exists B_x\in \mathcal{B}$ tale che $x\in B_x \subset B_1\cap B_2$.+

      NO!

    3. $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}$, $B_1\cup B_2 \in \mathcal{B}$.+

      S!

    4. La famiglia $\mathcal{A}\subset 2^X$, composta da tutte le unioni di elementi di $\mathcal{B}$ unita a $\emptyset$ una topologia.+

      NO!

  9. Sia $Y\subset X$ con la topologia indotta da $X$. Allora gli aperti di $Y$
    1. sono tutti e soli quelli della forma $Y\cap U$, con $U\subset X$ aperto.+

      S!

    2. sono tutti e soli quelli della forma $Y\cap U$, con $U\subset X$, se e soltanto se $Y$ aperto in $X$.+

      NO!

    3. non possono essere chiusi in $X$.+

      NO!

    4. sono i sottoinsiemi di $Y$ che sono aperti in $X$.+

      NO!

  10. Sia $p\colon X\to Y$ una funzione suriettiva. Se $Y$ ha la topologia quoziente, allora
    1. una funzione $g\colon Y \to Z$ continua se e soltanto se continua la composizione $g\circ p\colon X \to Z$.+

      S!
      Se $g$ continua, allora $g\circ p$ continua perch composizione di funzioni continue. Se $g\circ p$ continua, allora $g$ continua, perch per ogni aperto $U\subset Z$ la controimmagine $g^{-1}(U) \subset Y$ un aperto di $Y$, dato che $p^{-1}(g^{-1}(U)) = (g\circ p)^{-1}(U)$ la controimmagine di $U$ mediante la funzione continua $g\circ p$.

    2. $Y$ compatto se e soltanto se $X$ compatto.+

      NO!
      La funzione costante $p\colon X=\mathbb{R} \to Y=\{0\}$ una mappa quoziente, con $Y$ compatto e $X$ non compatto.

    3. $Y$ di Hausdorff se e soltanto se $X$ di Hausdorff.+

      NO!
      Sia $X=\mathbb{R}$ con la topologia banale, e $Y=\{0\}$. Si considerino gli spazi $X\times \mathbb{R}$ e $Y\times \mathbb{R}$ con la topologia prodotto, dove $\mathbb{R}$ ha la topologia metrica. La mappa (costante) $p\colon X\times \mathbb{R} \to Y \times \mathbb{R} $ una mappa quoziente, ma $X\times \mathbb{R}$ non Hausdorff mentre $Y\times \mathbb{R} \cong \mathbb{R}$ lo .

    4. La funzione $p$ una funzione chiusa.+

      NO!
      Se $X=\mathbb{R}^2$ e $Y=\mathbb{R}$, e $p$ la proiezione sulla prima componente, allora $p$ non una funzione chiusa, ma $Y$ ha la topologia quoziente.