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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2017-04-10
  1. Siano $A$ e $B$ due insiemi, e $y\in A\cap B$, $x\in A\cup B$. Quale delle seguenti non è necessariamente vera?
    1. $y\in A \vee y \in B$.+

      NO!

    2. $x\in A \vee x\in B$.+

      NO!

    3. $y\in A\cup B$.+

      NO!

    4. $x\in A \cap B$.+

      SÌ!

  2. Se $A$ è un sottoinsieme di uno spazio metrico, allora :
    1. Ogni punto di accumulazione di $A$ è interno ad $A$.+

      NO!

    2. Ogni punto della chiusura di $A$ è interno ad $A$.+

      NO!

    3. Ogni punto interno ad $A$ è anche nella chiusura $\overline{A}$ di $A$.+

      SÌ!

    4. Ogni punto interno ad $A$ è di accumulazione per $A$ in $X$.+

      NO!

  3. Sia $f\colon X \to Y$ una funzione continua, con $X$ e $Y$ spazi topologici. Allora:
    1. $f$ è un omeomorfismo se e soltanto se $f$ è biunivoca.+

      NO!

    2. Se $X$ è compatto, allora $f(X)$ è compatto in $Y$.+

      SÌ!

    3. $\forall A \subset X$, $f(A)$ è aperto in $Y$.+

      NO!

    4. Una sola delle quattro risposte è vera.+

      NO!

  4. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
    1. L'immagine di un compatto mediante $f$ funzione continua non è un necessariamente compatto.+

      NO!

    2. Se $X$ è compatto e $C\subset X$ è un sottoinsieme chiuso, allora $C$ è compatto.+

      SÌ!

    3. Se $X$ e $Y$ sono due spazi topologici omeomorfi allora $X$ è compatto $\iff$ $Y$ è chiuso.+

      NO!

    4. Una funzione $f\colon X \to Y$ suriettiva tra $X$ compatto e $Y$ di Hausdorff è un omeomorfismo.+

      NO!

  5. Se $f\colon X \to Y$ è una mappa tra spazi topologici continua, allora non è vero che
    1. l'immagine di un chiuso è un chiuso.+

      SÌ!

    2. l'immagine di un compatto è un compatto.+

      NO!

    3. la controimmagine di un chiuso è un chiuso.+

      NO!

    4. $\forall A\subset X$, $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$.+

      NO!

  6. Data una funzione $f\colon X \to Z$ e $p\colon X\to Y = X/_\sim$, si dice che $f$ passa al quoziente se:
    1. $f$ e $p$ sono continue.+

      NO!

    2. $\exists \bar f\colon Y \to Z$ t.c. $\bar f$ continua.+

      NO!

    3. $\forall A\subset Y$ aperto, $f^{-1}(A)$ è aperto di $X$.+

      NO!

    4. $\exists \bar f\colon Y \to Z$ t.c. $\bar f$ continua e $\bar f \circ p = f$.+

      SÌ!

  7. Sia $X$ un insieme finito di punti di uno spazio metrico. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. $X$ è chiuso.+

      NO!

    2. $X$ non ha punti di accumulazione.+

      NO!

    3. $X$ è compatto.+

      NO!

    4. Tutti i punti di $X$ sono di accumulazione.+

      SÌ!

  8. Quale tra le seguenti non è una topologia su $X=\{1,2,3,4\}$?
    1. $\tau=\{\emptyset,X\}$.+

      NO!

    2. $\tau = \{ \emptyset, X, \{1,2\}, \{3,4\}\}$.+

      NO!

    3. $\tau = \{ \emptyset, X, \{1,2,3\},\{1,3\},\{1\}\}$.+

      NO!

    4. $\tau = \{ \emptyset, X, \{2,4\},\{2,3\},\{1\}\}$.+

      SÌ!

  9. Sia $X$ uno spazio metrico, $A\subset X$ un aperto. Si segni l'affermazione errata:
    1. $X- A$ è un chiuso.+

      NO!

    2. $A$ è unione di intorni circolari.+

      NO!

    3. Almeno un punto di $A$ non è interno ad $A$.+

      SÌ!

    4. Per ogni $x\in A$, $A$ contiene un intorno circolare centrato in $X$.+

      NO!

  10. Sia $X$ uno spazio topologico che ha per topologia la topologia discreta $\tau_d$. Quale delle seguenti è errata?
    1. In $X$ ci sono successioni convergenti che non sono definitivamente costanti.+

      SÌ!

    2. Se $Y$ è uno spazio topologico qualsiasi, allora qualsiasi $f\colon X \to Y$ è continua.+

      NO!

    3. Tutti i sottoinsiemi di $X$ sono sia aperti che chiusi.+

      NO!

    4. $\tau_d$ ha più aperti di qualsiasi altra topologia su $X$.+

      NO!