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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2016-04-11
  1. Sia $X$ uno spazio metrico e $A\subset X$ un suo sottoinsieme. Un punto $x\in A$ è di accumulazione per $A$ in $X$ se:
    1. $\forall r\gt 0$, $\forall x\in A$, $\left(B_r(x)- \{x\}\right) \cap A \neq \emptyset$.+

      NO!

    2. $\forall x\in A$, $\forall r\gt 0$, $B_r(x) \cap A \neq \emptyset$.+

      NO!

    3. $\exists r\gt 0 : \forall x\in A$, $B_r(x) \subseteq A$.+

      NO!

    4. $\forall r\gt 0$, $B_r(x) \cap A$ non è finito.+

      SÌ!

  2. Data una funzione $f\colon X \to Y$, con $X$ e $Y$ spazi metrici, quale affermazione non è necessariamente vera?
    1. La funzione $f$ è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di $Y$ è un aperto di $X$.+

      NO!

    2. Se la funzione $f$ è continua, allora $\forall A \subset X$, $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$.+

      NO!

    3. Se la funzione $f$ è continua, allora $\forall A \subset X$, $f(\overline{A}) = \overline{f(A)}$.+

      SÌ!

    4. Se la funzione $f$ è continua allora $\forall C \subset Y$ chiuso, la controimmagine $f^{-1}(C)\subset X$ è un chiuso di $X$.+

      NO!

  3. Siano $\tau_1$ e $\tau_2$ due topologie su uno spazio topologico $X\neq \emptyset$. Sia $\operatorname{Id} \colon (X,\tau_1) \to (X,\tau_2)$ ls funzione identità, t.c. $\forall x\in X$, $\operatorname{Id}(x) = x$. Perché $\operatorname{Id}$ sia continua quale delle seguenti condizioni deve essere soddisfatta?
    1. $\tau_1 \subseteq \tau_2$.+

      NO!

    2. $\tau_2 \subseteq \tau_1$.+

      SÌ!

    3. $\operatorname{Id}$ è sempre continua.+

      NO!

    4. $\tau_1$ deve essere necessariamente la topologia banale.+

      NO!

  4. Se $X$ è uno spazio metrico, $U$ è un aperto di $X$, allora $U$ è intorno di $x_0 \in X$ se :
    1. $\exists \delta\gt 0$ t.c. $\left( B_\delta(x_0) - \{x_0\} \right) \cap U \neq \emptyset$.+

      NO!

    2. $\forall \delta \gt 0$, $B_\delta(x_0) \subset U$.+

      NO!

    3. $x_0$ è di accumulazione per $U$ in $X$.+

      NO!

    4. $x_0\in U$.+

      SÌ!

  5. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
    1. La circonferenza è omeomorfa alla retta reale.+

      NO!

    2. $f\colon [0,2\pi) \subset \mathbb{R} \to S^1\subset \mathbb{C}$ definita ponendo $f(t) = \cos(2\pi t) + i \sin(2\pi t)$ è un omeomorfismo.+

      NO!

    3. La sfera meno un punto è omeomorfa a $\mathbb{R}^2$.+

      SÌ!

    4. $[0,1) \times [0,1)$ non è omeomorfo a $[0,1] \times [0,1)$.+

      NO!

  6. Uno spazio topologico $X$ si dice di Hausdorff se :
    1. $\forall x,y\in X$, $x\neq y$, $\exists U_x, U_y$ rispettivamente intorni di $x$ e $y$ con $U_x\cap U_y=\emptyset$.+

      SÌ!

    2. $\forall x,y\in X$, $x\neq y$, $\forall U_x, U_y$ rispettivamente intorni di $x$ e $y$ con $U_x\cap U_y=\emptyset$.+

      NO!

    3. $\forall x,y\in X$, $x\neq y$, $\exists U_x, U_y$ rispettivamente intorni di $x$ e $y$ con $U_x\cap U_y\neq \emptyset$.+

      NO!

    4. $X$ non è metrizzabile.+

      NO!

  7. Quali fra questi spazi non sono tra loro omeomorfi?
    1. La sfera meno un punto e $\mathbb{C}$.+

      NO!

    2. Il bordo di un quadrato e la circonferenza inscritta.+

      NO!

    3. $I=[0,1]$ e $\mathbb{R}$.+

      SÌ!

    4. $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{C}$.+

      NO!

  8. Sia $X$ uno spazio metrico compatto. Quale non è necessariamente vera?
    1. Ogni ricoprimento aperto di $X$ ammette un sottoricoprimento finito.+

      NO!

    2. Ogni sottoinsieme $Y\subset X$ di $X$ è compatto.+

      SÌ!

    3. Ogni sottoinsieme $Y\subset X$ ha almeno un punto di accumulazione in $X$, oppure è finito.+

      NO!

    4. Ogni successione in $X$ ha almeno una sottosuccessione convergente in $X$.+

      NO!

  9. Sia $X$ un insieme finito con $n\gt 1$ elementi. Tra tutte le topologie di $X$, quante sono quelle metrizzabili?
    1. $2^n$.+

      NO!

    2. tutte.+

      NO!

    3. $n!$.+

      NO!

    4. $1$.+

      SÌ!

  10. Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici, e $X\times Y$ lo spazio prodotto con la topologia prodotto. Sia $p\colon X\times Y \to X$ la proiezione sulla prima componente. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. $p$ è sempre continua e chiusa.+

      SÌ!

    2. $p$ è sempre continua e aperta.+

      NO!

    3. $p$ può non essere iniettiva.+

      NO!

    4. $p$ può essere un omeomorfismo.+

      NO!