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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2015-04-13
  1. Sia $X=\mathbb{R}$ con la metrica discreta. Allora l'intorno circolare di centro $4$ e raggio $2$ è ...
    1. $B_2(4) = \mathbb{R}$.+

      SÌ!

    2. $B_2(4) = \{4\}$.+

      NO!

    3. $B_2(4) = \mathbb{R} - \{4\}$.+

      NO!

    4. $B_2(4) = \emptyset$.+

      NO!

  2. Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici, e $X\times Y$ lo spazio prodotto con la topologia prodotto. Sia $p\colon X\times Y \to X$ la proiezione sulla prima componente. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
    1. $p$ è sempre continua e chiusa.+

      SÌ!

    2. $p$ è sempre continua e aperta.+

      NO!

    3. $p$ può non essere iniettiva.+

      NO!

    4. $p$ può essere un omeomorfismo.+

      NO!

  3. Sia $X$ uno spazio topologicoi, $A\subseteq X$ un suo sottoinsieme chiuso e $f\colon X \to Y$ una funzione continua a valori in uno spazio topologico $Y$. Quali delle seguenti affermazioni non è necessariamente vera?
    1. $f(A) = \overline{f(A)}$.+

      SÌ!

    2. $f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$.+

      NO!

    3. $\overline A = A$.+

      NO!

    4. $f(A) \subseteq \overline{f(A)}$.+

      NO!

  4. Sia $f\colon [0,2\pi) \subset \mathbb{R} \to S^1 \subset \mathbb{C}$ la funzione definita ponendo $f(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t$ per ogni $t\in [0,2\pi)$. Si ha
    1. $f$ non è un omeomorfismo.+

      SÌ!

    2. $f$ è biunivoca ma non è continua.+

      NO!

    3. $f$ è una funzione aperta.+

      NO!

    4. $f$ è continua, biunivoca e aperta.+

      NO!

  5. Sia $X=\mathbb{R}$. Quale delle seguenti topologie è necessariamente la più fine di ogni altra? \emph{($\tau'$ è più fine di $\tau$ se ogni aperto di $\tau$ è anche aperto di $\tau'$)}
    1. Discreta.+

      SÌ!

    2. Euclidea.+

      NO!

    3. Metrica.+

      NO!

    4. Banale.+

      NO!

  6. Quali fra i seguenti spazi non sono tra loro omeomorfi?
    1. $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$.+

      SÌ!

    2. $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{C}$.+

      NO!

    3. Il bordo di un quadrato e la circonferenza inscritta al suo interno.+

      NO!

    4. $[0,1)\times [0,1)$ e $[0,1] \times [0,1)$.+

      NO!

  7. Siano $\tau_1$ e $\tau_2$ due topologie su un insieme $X$ non vuoto. Sia $f\colon (X,\tau_1) \to (X,\tau_2)$ la funzione identità, definita ponendo $f(x)=x$ per ogni $x\in X$. Affinché la funzione $f$ sia continua, quale delle seguenti condizioni deve essere soddisfatta?
    1. $\tau_2 \subseteq \tau_1$.+

      SÌ!

    2. $\tau_1 \subset \tau_2$.+

      NO!

    3. La funzione identità è continua indipendentemente da $\tau_1$ e $\tau_2$.+

      NO!

    4. Se $\tau_2$ è la topologia discreta, allora $f$ è continua indipendentemente da $\tau_1$.+

      NO!

  8. Sia $X$ uno spazio metrico compatto. Quale tra le seguenti affermazioni può non essere vera?
    1. Ogni insieme di punti di $X$ ha un punto di accumulazione in $X$.+

      SÌ!

    2. Ogni ricoprimento aperto di $X$ ammette un sottoricoprimento finito.+

      NO!

    3. Ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente.+

      NO!

    4. Non esiste un ricoprimento aperto di $X$ senza un sottoricoprimento finito di $X$.+

      NO!

  9. Una famiglia di sottoinsiemi $\mathcal{B}\subseteq 2^X$ di un insieme $X$ si dice base se e soltanto se $X=\bigcup_{B\in\mathcal{B}} B$ e ...
    1. $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}$, $x\in B_1\cap B_2 \Longrightarrow \exists B_x \in \mathcal{B} : x\in B_x \subseteq B_1\cap B_2$.+

      SÌ!

    2. $\forall B_1,B_2\in \mathcal{B}$, $B_1\cap B_2 \in \mathcal{B}$.+

      NO!

    3. $\forall B_1,B_2\in \mathcal{B}$, $B_1\cup B_2 \in \mathcal{B}$.+

      NO!

    4. $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}$, $x\in B_1\cup B_2 \Longrightarrow \exists B_x \in \mathcal{B} : x\in B_x \subseteq B_1\cup B_2$.+

      NO!

  10. Sia $X=\{ x\in \mathbb{C} : x^2 \in \mathbb{Q}\}$. Allora:
    1. $X$ non è compatto.+

      SÌ!

    2. $X$ è un sottospazio chiuso di $\mathbb{C}$.+

      NO!

    3. $X$ è compatto.+

      NO!

    4. $X$ è compatto e non connesso.+

      NO!