» Home Page
Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2014-04-07
  1. Se $A$ è un sottoinsième di uno spàzio mètrico $X$ (qualsìasi), allóra :
    1. Ógni pùnto intèrno ad $A$ è ànche nélla chiusùra $\overline{A}$ di $A$.+

      SÌ!

    2. Ógni pùnto intèrno ad $A$ è di accumulazióne per $A$.+

      NO!

    3. Ógni pùnto di accumulazióne di $A$ è intèrno ad $A$.+

      NO!

    4. Ógni pùnto della chiusùra di $A$ è intèrno ad $A$.+

      NO!

  2. Se $\tau$ è ùna topologìa per un insième $X$ con $n\geq 3$ eleménti, allóra :
    1. $\tau$ ha alméno 4 eleménti.+

      NO!

    2. $\tau$ non può avére più di $2n$ eleménti.+

      NO!

    3. $\tau$ non può avére méno di $2$ eleménti.+

      SÌ!

    4. Non si pòssono contàre gli eleménti di $\tau$, perché è un sottoinsième dell'insième délle pàrti $2^X$ di $X$.+

      NO!

  3. Sìa $f\colon X \to Y$ ùna funzióne tra spàzi mètrici $X$ e $Y$. Quàli délle seguènti è véra ?
    1. Le seguènti proprietà sono equivalènti : \noindent\begin{compactenum}[1.] \item $f$ è contìnua \item $\forall A\subset X$, $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ \item $\forall C \subset X$, $C$ chiùso, $f^{-1}(C)$ è un aperto di $X$. \end{compactenum}+

      NO!

    2. Le seguènti proprietà sono equivalènti : \noindent\begin{compactenum}[1.] \item $f$ è continua \item $\forall A\subset X$, $f(\overline{A}) = \overline{f(A)}$ \item $\forall C \subset X$, $C$ chiùso, $f^{-1}(C)$ è un chiùso di $X$. \end{compactenum}+

      NO!

    3. Le seguènti proprietà sono equivalènti : \noindent\begin{compactenum}[1.] \item $f$ non è continua \item $\exists A\subset X$, $f(\overline{A}) \neq \overline{f(A)}$ \item $\exists C \subset Y$, $C$ chiùso, $f^{-1}(C)$ è un aperto di $X$. \end{compactenum}+

      NO!

    4. Le seguènti proprietà sono equivalènti : \noindent\begin{compactenum}[1.] \item $f$ non è continua \item $\exists A\subset X$, $f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)}$ \item $\exists C \subset Y$, $C$ chiùso, $f^{-1}(C)$ non è un chiùso di $X$. \end{compactenum}+

      SÌ!

  4. Sia $X=\{A,B,C,D,E\}$. Quale tra queste famiglie di sottoinsièmi è una topologia su $X$ ?
    1. $\mathcal{A} = \{ \emptyset, X, \{B,C\}, \{A,B,C\}, \{B,C,D\}\}$+

      NO!

    2. $\mathcal{B} = \{ \emptyset, X, \{A\},\{A,B\}, \{A,C,D\}, \{A,B,E\}, \{A,B,C,D\}\}$+

      SÌ!

    3. $\mathcal{C} = \{ X, \emptyset, \{A,C,D\}, \{A,C,E\}, \{A,B,C,E\} \}$+

      NO!

    4. $\mathcal{D} = \{ X, \{E\}, \{A,E\}, \{C,D\}, \{A,C,D\} \{C,D,E\}, \{A,C,D,E\} \}$+

      NO!

  5. Quali tra queste coppie di spazi non sono omeomorfi tra di loro? (con la topologia della metrica euclidea)
    1. $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}$.+

      SÌ!

    2. $S^1\setminus\{N\}$ (circonferenza meno un suo pùnto) e $\{ x\in \mathbb{R} : 0\lt x\lt 1 \}$.+

      NO!

    3. $S^1$ e il bordo di un quadrato.+

      NO!

    4. $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{C}$.+

      NO!

  6. Sia $f\colon X \to Y$ una funzione. Se $B\subset Y$ è un sottoinsième di $Y$, la controimmagine di $B$ è :
    1. $f^{-1}(B) = \{ x\in X : f(x) \in Y \} $+

      NO!

    2. $f^{-1}(B) = \{ x\in X : f(x) \in B \} $+

      SÌ!

    3. $f^{-1}(B) = \{ \dfrac{1}{f(b)} : b \in B \} $+

      NO!

    4. $f^{-1}(B) = \{ f(x) \in Y : x \in X \}$+

      NO!

  7. Sia $C\subset X$ uno sottoinsième chiùso di uno spazio metrico $X$. Allóra non è necessariamente vero che :
    1. $X\setminus C$ è aperto+

      NO!

    2. $\overline C \subset C$+

      NO!

    3. $\overline C = \overline {C} \cap \{\text{punti di accumulazione}\}$+

      SÌ!

    4. $C\subset \overline{C}$+

      NO!

  8. Sia $X$ uno spazio metrico. Quali dei seguènti sottoinsièmi non possono mai essere aperti di $X$ ?
    1. $\emptyset$, $X$+

      NO!

    2. l'unione di una famiglia finita di aperti di $X$+

      NO!

    3. i sottoinsièmi finiti di $X$+

      NO!

    4. i sottoinsièmi di $X$ che contengono un pùnto di accumulazione del proprio complementare+

      SÌ!

  9. Sia $X$ uno spazio topologico e $f\colon X \to Y$ una funzione suriettiva. La topologia quoziente su $Y$ è :
    1. tra le topologie su $Y$ che rendono $f\colon X \to Y$ una funzione continua, quella con meno aperti possibile.+

      NO!

    2. la topologia i cui chiùsi sono i sottoinsièmi $C\subset Y$ tali che $\exists K \subset X$ chiùso tale che $f(K)\subset C$+

      NO!

    3. la topologia i cui aperti sono i sottoinsièmi $A\subset Y$ tali che $\exists U \subset X$ aperto tale che $f(U)=A$+

      NO!

    4. la topologia i cui aperti sono i sottoinsièmi $A\subset Y$ tali che $f^{-1}(A)\subset X$ è un aperto di $X$+

      SÌ!

  10. Sia $X$ un insième finito, con $n\gt 1$ eleménti. Tra tutte le topologie possibili di $X$, quante sono quelle metrizzabili?
    1. $n!$+

      NO!

    2. 1+

      SÌ!

    3. tutte+

      NO!

    4. $2^n-1$+

      NO!