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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2013-04-15
  1. Quale tra le seguenti famiglie $\beta$ di sottoinsiemi di $X$ non una base per una topologia sull'insieme $X$ indicato?
    1. $X=\mathbb{N}$ e $\beta$ la famiglia di sottoinsiemi del tipo $\{ k \in \mathbb{N} : k \leq N \}$, con $N\in \mathbb{Z}$.+

      NO!

    2. $X=\mathbb{N}$ e $\beta$ la famiglia degli insiemi della forma $B_i = \{ ki : k \in \mathbb{N} \}$, con $i$ intero.+

      NO!

    3. $X=\mathbb{Z}$, e $\beta$ la famiglia di intervalli del tipo $[a,b]$, con $a,b \in \mathbb{Z}$, $a\lt b$.+

      S!

    4. $X=\mathbb{R}_+ = \{ x \in \mathbb{R} : x \gt 0 \}$ e $\beta$ data dagli insiemi della forma $[1/n,n]$, con $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 1$.+

      NO!

  2. Sia $A=\{ x\in \mathbb{Q} : 0\lt x\lt 1 \}\subset \mathbb{Q}$. Quale dei seguenti un ricoprimento di $A$ da cui si pu estrarre un sottoricoprimento finito di $A$?
    1. La famiglia degli intervalli del tipo $\{ x \in A : x \in (y-1/2,y+1/2), y \in \mathbb{Z}\}$.+

      NO!
      $1/2 \in A$, ma $1/2$ non appartiene a nessun intervallo di quel tipo, quindi non un ricoprimento.

    2. La famiglia degli intervalli del tipo $\{ x\in A : x \in (1/n,1-1/n)\}$, con $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 1$.+

      NO!
      una famiglia di intervalli crescenti: un sottoricoprimento finito pi coprire al massimo un intervallo del tipo $(1/N,1-1/N)$, che non pu essere uguale a $A=(0,1)$.

    3. La famiglia dei sottoinsiemi del tipo \[ \{ x\in A : x \not\in (\sqrt{3}-\dfrac{1}{n} ,\sqrt{3}+\dfrac{1}{n} ) \} \] al variare di $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 0$.+

      S!
      Per $n$ abbastanza grande, cio $n\gt 1$, si ha $\sqrt{3} - \frac{1}{n} \gt 1$, per cui $A$ si pu coprire con un solo aperto del ricoprimento.

    4. La famiglia dei sottoinsiemi del tipo \[ \{ x \in A : x \not\in (\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{n}, \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{n} )\}, \] al variare di $n \in \mathbb{N}$, $n\gt 0$.+

      NO!
      Dato che $0\lt \sqrt{3}/2 \lt 1$ e $\sqrt{3}/2 \not\in A$, la famiglia indicata un ricoprimento, ma non ammette un sottoricoprimento finito.

  3. Quale delle seguenti affermazioni falsa?
    1. Ogni spazio metrizzabile di Hausdorff.+

      NO!

    2. Ogni successione di Cauchy converge.+

      S!
      Questa la definizione di completezza, che non sempre verificata.

    3. Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff pu essere aperto.+

      NO!
      L'affermazione vera: basta prendere uno spazio discreto (anche con un solo punto).

    4. Una funzione continua $f\colon X \to Y$ biunivoca da un compatto $X$ ad un Hausdorff $Y$ un omeomorfismo.+

      NO!

  4. Uno spazio metrico $X$ compatto se ...
    1. $X$ chiuso e limitato.+

      NO!

    2. per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un sottoricoprimento finito di $X$.+

      S!

    3. Per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un sottoricoprimento di $X$.+

      NO!

    4. Per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un ricoprimento finito di $X$.+

      NO!

  5. Data $f\colon X \to Y$ definita tra spazi topologici, quale delle seguenti affermazioni non equivalente alle altre?
    1. $f$ continua.+

      NO!

    2. $\forall A\subset X$, $f(\overline{A}) \supset f(\overline{A})$.+

      S!
      Questa una tautologia.

    3. $\forall C\subset Y$ chiuso, $f^{-1}(C)$ chiuso in $X$.+

      NO!

    4. Se $\mathcal{B}$ una base per $Y$, allora per ogni elemento $B\in \mathcal{B}$, $f^{-1}(B)$ aperto in $X$.+

      NO!

  6. Quale dei seguenti non necessariamente un omeomorfismo?
    1. $f\colon [0,2\pi)\subset \mathbb{R} \to S^1\subset \mathbb{C}$, con $f(t) = e^{it/n} \in S^1$, con $n\in \mathbb{N}$, $n\gt 0$.+

      S!

    2. una funzione biunivoca, continua e chiusa.+

      NO!

    3. una funzione biunivoca, continua e aperta.+

      NO!

    4. una funzione biunivoca, continua e con inversa continua.+

      NO!

  7. Sia $X$ un insieme finito, con $n\gt 1$ elementi. Tra tutte le topologie possibili di $X$, quante sono quelle metrizzabili?
    1. $2^n$.+

      NO!
      Qualsiasi metrica su un insieme finito induce la topologia discreta.

    2. $n!$.+

      NO!
      Qualsiasi metrica su un insieme finito induce la topologia discreta.

    3. 1.+

      S!

    4. tutte.+

      NO!
      Qualsiasi metrica su un insieme finito induce la topologia discreta.

  8. Siano $F\colon X \to Y$ e $G\colon Y \to Z$ funzioni tra spazi topologici, tali che la composizione $G\circ F\colon X \to Z$ sia continua. Allora ...
    1. se $F$ un omeomorfismo, allora $G$ continua.+

      S!
      Infatti ponendo $H = G \circ F$ si ha $G= H \circ F^{-1}$, che composizione di funzioni continue.

    2. se $G$ continua, allora $F$ continua.+

      NO!
      Se $F$ una funzione discontinua e $G$ una funzione costante, certamente $G\circ F$ costante e quindi continua.

    3. se $F$ continua, allora $G$ continua.+

      NO!
      Si prenda $F$ costante e $G$ non continua: allora $G\circ F$ costante e quindi continua.

    4. $G\circ F$ un omeomorfismo se solo se $G$ e $F$ sono entrambe omeomorfismi.+

      NO!
      Se $X=Z=\{0\}$ un punto solo, e $Y=\mathbb{R}$, con $F$ l'inclusione e $G$ la funzione costante, chiaro che $G$ e $F$ non sono omeomorfismi ma $G\circ F$ s.

  9. Uno spazio topologico di Hausdorff necessariamente ...
    1. compatto.+

      NO!
      Ci sono spazi di Hausdorff non compatti: $\mathbb{R}$, per esempio.

    2. metrizzabile.+

      NO!
      Ci sono spazi di Hausdorff non metrizzabili. Si prenda l'esempio $X=2^{[0,1]}$, con la topologia prodotto (della convergenza puntuale). facile vedere che di Hausdorff, e abbiamo visto (8.16, 8.17) che non metrizzabile.

    3. euclideo.+

      NO!
      Ci sono spazi di Hausdorff non euclidei: $\mathbb{Q}$, per esempio.

    4. nessuna delle altre risposte.+

      S!

  10. Sia $C\subset X$ un sottoinsieme, con la topologia indotta, di uno spazio metrico $X$. Quali delle seguenti sono successioni in $C$ che ammettono una sottosuccessione che converge in $C$?
    1. Tutte e sole le successioni definitivamente costanti.+

      NO!
      Potrebbero esserci anche successioni del tipo $(-1)^n$ che ammettono sottosuccessioni convergenti.

    2. Tutte le successioni in $C$.+

      NO!
      Non detto che $C$ sia compatto.

    3. Tutte e sole le successioni crescenti in $C$.+

      NO!

    4. Tutte le successioni costanti in $C$.+

      S!