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Question Bank: Domande a Scelta Multipla
--» Geometria I: Prova Parziale 2012-04-16
  1. Quale tra questi spazi topologici compatto?
    1. $\{ x\in \mathbb{Q} : 0\leq x \leq 1 \}$, con la topologia metrica standard.+

      NO!
      Non un sottospazio chiuso e limitato di $\mathbb{R}$!

    2. $(0,1] \times \mathbb{R}$ con la topologia prodotto delle topologie metriche standard.+

      NO!
      I due fattori devono essere compatti: nessuno dei due lo !

    3. $\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}, 1\leq n \leq \sqrt{2} \cdot 10^{10} \}\subset \mathbb{R}$, con la topologia metrica standard.+

      S!

    4. $\{x\in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \} \subset \mathbb{R}$, con la topologia discreta.+

      NO!
      Nessuno spazio discreto infinito pu essere compatto!

  2. Una funzione $f\colon X \to Y$ continua e suriettiva con $X$ compatto e $Y$ di Hausdorff non necessariamente:
    1. chiusa.+

      NO!
      Se $X$ compatto e $Y$ Hausdorff, allora $f$ necessariamente chiusa.

    2. aperta.+

      S!
      Per esempio, la funzione $X=[0,1]\to S^1=Y$ definita da $t \mapsto e^{2\pi t i}$ continua, suriettiva, da $X$ compatto a $Y$ Hausdorff, ma non una mappa aperta: $[0,1/2)\subset X$ un aperto la cui immagine non un aperto di $Y$.

    3. un omeomorfismo, supponendo $f$ iniettiva.+

      NO!
      Se $X$ compatto e $Y$ Hausdorff e $f$ biunivoca, allora $f$ un omeomorfismo.

    4. una mappa quoziente.+

      NO!

  3. Sia $X$ uno spazio metrico. Quele delle seguenti propriet non equivalente alle altre?
    1. $X$ compatto.+

      NO!

    2. $X$ completo.+

      S!

    3. Ogni sottoinsieme infinito di punti di $X$ ha un punto di accumulazione in $X$.+

      NO!

    4. Ogni successione in $X$ ammette una sottosuccessione convergente in $X$.+

      NO!

  4. Se $X\times Y$ ha la topologia prodotto, allora la proiezione $p\colon X\times Y \to X$
    1. una funzione sia aperta e che chiusa.+

      NO!

    2. una funzione iniettiva ma non necessariamente suriettiva.+

      NO!

    3. una funzione continua e aperta.+

      S!

    4. una funzione biunivoca.+

      NO!

  5. Quale delle seguenti affermazioni sulla compattezza di uno spazio topologico $X$ falsa?
    1. Se $X$ compatto, allora da ogni ricoprimento di $X$ mediante elementi di una base $\mathcal{B}$ della topologia di $X$ si pu estrarre un sottoricoprimento finito.+

      NO!

    2. Se $X$ compatto e $Y$ omeomorfo a $X$, allora $Y$ compatto.+

      NO!

    3. Ogni sottospazio compatto di $X$ un chiuso di $X$.+

      S!

    4. Se $X$ compatto e $C\subset X$ un chiuso di $X$, allora $C$ compatto (nella topologia indotta).+

      NO!

  6. L'intervallo $(0,1) \subset \mathbb{R}$, nella topologia metrica standard, ...
    1. compatto.+

      NO!

    2. non connesso.+

      NO!

    3. omeomorfo a $\mathbb{R}$.+

      S!

    4. non chiuso nella topologia indotta su $(0,1)$.+

      NO!

  7. Sia $X$ uno spazio metrico e $A\subset X$ un sottoinsieme. La chiusura $\overline{A}$ di $A$ in $X$ :
    1. il pi piccolo insieme chiuso di $X$ che contiene $A$.+

      S!

    2. l'insieme dei punti interni di $A$.+

      NO!

    3. l'insieme dei punti di accumulazione di $A$ in $X$.+

      NO!

    4. il pi piccolo insieme aperto di $X$ contenuto in $A$.+

      NO!

  8. Sia $f\colon X \to Y$ una funzione continua. Quale tra le seguenti affermazioni falsa?
    1. $\forall A\subset X$, $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$.+

      NO!

    2. $\forall A\subset X$, $A$ aperto $X$, $f(A)\subset Y$ un aperto di $Y$.+

      S!

    3. $\forall A\subset X$ con la topologia indotta, la restrizione $f|_A$ continua.+

      NO!

    4. $\forall U\subset Y$, $U$ aperto di $Y$, $f^{-1}(U)\subset X$ un aperto di $X$.+

      NO!

  9. Sia $X$ uno spazio topologico e $f\colon X \to Y$ una funzione suriettiva. La topologia quoziente su $Y$ :
    1. la topologia i cui aperti sono i sottoinsiemi $A\subset Y$ tali che esiste un aperto $U\subset X$ tale che $f(U)=A$.+

      NO!

    2. la topologia i cui aperti sono i sottoinsiemi $A\subset Y$ tali che $f^{-1}(A)\subset X$ un aperto di $X$.+

      S!

    3. la topologia i cui chiusi sono i sottoinsiemi $C\subset Y$ tali che esiste un chiuso $K\subset X$ tale che $f(K)=C$.+

      NO!

    4. tra le topologie su $Y$ che rendono $f\colon X\to Y$ una funzione continua, quella con meno aperti possibile.+

      NO!

  10. Sia $X$ uno spazio metrico, con la metrica discreta, e $C\subset X$ un sottoinsieme chiuso e limitato di $X$. Quale tra le seguenti affermazioni necessariamente vera?
    1. $C$ compatto.+

      NO!
      Se $X$ non finito, allora non pu essere compatto, con la topologia discreta.

    2. ogni successione in $C$ ha almeno una sottosuccessione convergente in $C$.+

      NO!
      questo equivalente ad essere compatto, per spazi metrici!

    3. ogni successione in $C$ ha al massimo una unica sottosuccessione convergente in $C$.+

      NO!
      Per esempio $(-1)^n$ una successione in $S^0=\{-1,1\}$ (spazio metrico discreto), che ha due sottosuccessioni convergenti a due limiti distinti.

    4. ogni successione di Cauchy in $C$ converge in $C$.+

      S!
      Infatti, se $x_n$ una successione di Cauchy, allora esiste $N\gt 0$ tale che $n,m\gt N \Longrightarrow d(x_n,x_m)\lt 1$, e quindi per $n,m\gt N$ si ha $d(x_n,x_m)=0 \Longrightarrow x_n=x_m$. Cio la successione definitivamente costante, e quindi converge.