(Segnare la risposta corretta, e riportarla poi nella prima pagina. Una risposta giusta vale $+3$, una risposta sbagliata $-1$, nessuna risposta o più di una risposta segnata: $0$. Se le risposte giuste sono più di una, sceglierne una sola, tranne quando espressamente indicato altrimenti)

(1) Sia $X=\AA ^ n(\RR )$. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
[$f=82.98\% $, $d=41.67\% $, mancate risposte: 3 ]

  1. Una isometria di $X$ in $X$ è una biiezione tale che $\forall A,B \in X$, $\lVert f(A) - f(B)\rVert = \lVert A-B\rVert $. [2]

  2. Una isometria è un isomorfismo affine. [3]

  3. Una traslazione è una isometria. [0]

  4. Un isomorfismo affine è una isometria. [39]

(2) Sia $S\subset \AA ^ n(\KK )$ un sottospazio affine di dimensione $d$, tale che esista una mappa affine $f\from \AA ^ n(\KK ) \to \AA ^{n-d}(\KK )$ per cui $S=\{ x\in \AA ^ n(\KK ) : f(x) = 0 \} $. Allora la funzione $f$ è:
[$f=91.49\% $, $d=33.33\% $, mancate risposte: 2 ]

  1. Una affinità. [0]

  2. Una mappa affine iniettiva. [2]

  3. Una mappa affine suriettiva. [43]

  4. Un isomorfismo affine. [0]

(3) Due sottospazi affini $S,T \subset X$ di uno spazio affine $X$ sono paralleli se e soltanto se
[$f=95.74\% $, $d=16.67\% $, mancate risposte: 1 ]

  1. $S\subset T$. [0]

  2. $S\cap T = \emptyset $. [1]

  3. $\overrightarrow {S} \cap \overrightarrow {T} = \emptyset $. [0]

  4. $\overrightarrow {S} \subset \overrightarrow {T}$ oppure $\overrightarrow {T} \subset \overrightarrow {S}$. [45]

(4) Quale tra le seguenti non è una mappa affine?
[$f=57.45\% $, $d=91.67\% $, mancate risposte: 9 ]

  1. $f\from \AA ^1(\CC ) \to \AA ^1(\CC )$ definita da $f(z) = \overline{z}$. [27]

  2. $f\from \AA ^1(\CC ) \to \AA ^1(\CC )$ definita da $f(z) = 5z+b$. [3]

  3. $f\from \AA ^2(\RR ) \to \AA ^2(\RR )$ definita da $f(\vx ) = \vx + \vb $, con $\vb \in \RR ^2$. [0]

  4. $f\from \AA ^3(\CC ) \to \AA ^3(\CC )$ definita da $f(\vx ) = \boldsymbol {0}$. [8]

(5) Nello spazio affine $\AA ^4(\RR )$ è sempre possibile trovare:
[$f=78.72\% $, $d=58.33\% $, mancate risposte: 8 ]

  1. due iperpiani sghembi. [0]

  2. un piano e una retta sghembi. [37]

  3. una retta e un iperpiano sghembi. [2]

  4. un piano e un iperpiano sghembi. [0]

(6) Si consideri il gruppo $G = \{ g \from \EE ^2 \to \EE ^2 : g(x) = A\vx + \vb , \text { con } A\in SO(2), \vb \in \RR ^2 \} $. Sia $I_2$ la matrice identica $2\times 2$. Quale affermazione è falsa?
[$f=48.94\% $, $d=83.33\% $, mancate risposte: 16 ]

  1. Ogni elemento non banale di $G$ è una rotazione attorno ad un punto di $\EE ^2$ o una traslazione. [3]

  2. La composizione in $G$ è una operazione commutativa e associativa. [23]

  3. Ogni elemento di $G$ con $A\neq I_2$ fissa un unico punto di $\EE ^2$. [1]

  4. Se $g\in G$ non è una traslazione, allora il punto fissato da $g$ è $\vx _0 = (I_2 -A)^{-1}\vb $. [4]

(7) Sia $\pi $ la proiezione di $\AA ^ n(\KK )$ sul sottospazio affine $S\subset \AA ^ n(\KK )$, parallela a al sottospazio $W\subset \KK ^ n$. Quale delle seguenti proprietà è falsa?
[$f=57.45\% $, $d=66.67\% $, mancate risposte: 14 ]

  1. $\pi (s) = s$ per ogni $s\in S$. [1]

  2. $\pi $ è una mappa affine. [2]

  3. $\pi $ è iniettiva. [27]

  4. $\pi $ è suriettiva. [3]

(8) Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
[$f=85.11\% $, $d=33.33\% $, mancate risposte: 3 ]

  1. $\PP ^1(\RR )$ è omeomorfo ad un segmento con gli estremi identificati ad un punto. [0]

  2. $\PP (\CC ^2)$ è omeomorfo a $S^2$. [2]

  3. $\PP (\RR ^2)$ è omeomorfo a $S^1 = \{ z \in \CC : \lVert z\rVert ^2 = 1 \} $, quozientato rispetto alla relazione di equivalenza $z\sim w \iff z^2 = w^2$. [2]

  4. $\PP ^3(\RR )$ è omeomorfo al toro. [40]

(9) Se $S,T\subset \PP ^ n(\KK )$ sono due sottospazi proiettivi tali che $\dim (S) + \dim (T) \geq n$, allora :
[$f=100.00\% $, $d=0.00\% $, mancate risposte: 0 ]

  1. $S \cap T \neq \emptyset $. [47]

  2. $S$ e $T$ sono paralleli. [0]

  3. Se $V$ e $W$ sono i sottospazi vettoriali di $\KK ^{n+1}$ tali che $\PP (V) = S$ e $\PP (W) = T$, allora $V+W = \KK ^{n+1}$. [0]

  4. $\dim ( S \cap T ) = 0$. [0]

(10) Siano $A$, $B$, $C$ tre sottospazi affini di $\AA ^6(\KK )$, di dimensioni rispettivamente $1$, $2$ e $3$, e $r$ una retta (sottospazio di dimensione $1$) in $\AA ^6(\KK )$. Supponiamo che $A\cap B \neq \emptyset $, $B\cap C \neq \emptyset $, $A\cap r \neq \emptyset $ e $C\cap r = \emptyset $. Quale delle seguenti affermazioni segue dalle ipotesi?
[$f=12.77\% $, $d=25.00\% $, mancate risposte: 25 ]

  1. $A\cap C \neq \emptyset $. [3]

  2. $r$ e $C$ sono paralleli. [1]

  3. Esiste una coppia $(x,y ) \in \{ A,B,C\} \times \{ A,B,C\} $ tale che $\dim (x) < \dim (y)$, $x\cap y \neq \emptyset $, $x\cap r \neq \emptyset $ e $y\cap r = \emptyset $. [6]

  4. Nessuna delle altre risposte. [12]