(Segnare la risposta corretta, e riportarla poi nella prima pagina. Una risposta giusta vale $+3$, una risposta sbagliata $-1$, nessuna risposta o più di una risposta segnata: $0$)

(1) Quale tra i seguenti insiemi non è connesso (nella topologia metrica)?
[$f=55.00\% $, $d=81.25\% $, mancate risposte: 11 ]

  1. L’insieme $\{ (x,y) \in \RR ^2 : xy=1 \} $. [33]

  2. L’insieme $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 > 1 \} $. [5]

  3. L’insieme $\{ (x,y) \in \RR ^2 : x^2 + y^2 = 1 \} \smallsetminus (0,1)$. [11]

  4. La palla aperta $B_{1/2}(1)$ in $\RR $ con la metrica standard. [0]

(2) Quale tra i seguenti spazi non è omeomorfo agli altri?
[$f=65.00\% $, $d=87.50\% $, mancate risposte: 9 ]

  1. L’intervallo $[0,1]\subset \RR $ con il bordo (la frontiera $\{ 0,1\} $) identificato ad un punto. [0]

  2. Lo spazio quoziente $\RR /\ZZ $, rispetto all’azione del gruppo $G=\ZZ $ su $X=\RR $ dato da $k\cdot x = k+x$ per $k\in \ZZ $ e $x\in \RR $. [7]

  3. Il gruppo $SO(2)$ delle matrici ortogonali con determinante $1$. [5]

  4. L’intervallo $[0,1)\subset \RR $. [39]

(3) Per quale delle seguenti funzioni esiste un punto $x\in X$ tale che $f(x) = 0$?
[$f=65.00\% $, $d=87.50\% $, mancate risposte: 0 ]

  1. $f\from X=\QQ \to \RR $, definta da $f(x) = 2x^2-1$. [8]

  2. $f\from X = \{ x\in \RR : 1\leq x\leq 2 \} \to \RR $, definita da $f(x) = 2x^2 - 1$. [5]

  3. $f\from X = \{ x \in \RR : 1 \leq x \leq 2 \} \to \RR $, definita da $f(x) = 3x^2 - 4 + \sin (x)$. [39]

  4. $f\from X = \{ x \in \RR : -1 < x < 1\} \to \RR $, definita da $f(x) = (x^2-1)\cos (\frac{\pi }{2}x)$. [8]

(4) Sia $X$ uno spazio topologico. Quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alle altre?
[$f=73.33\% $, $d=56.25\% $, mancate risposte: 1 ]

  1. $X$ è connesso. [2]

  2. Non esistono due aperti $A,B$ di $X$ tali che $X=A\cup B$. [44]

  3. $X$ e $\emptyset $ sono gli unici sottoinsiemi di $X$ simultaneamente aperti e chiusi. [3]

  4. $X$ ha una unica componente connessa. [10]

(5) Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
[$f=71.67\% $, $d=56.25\% $, mancate risposte: 6 ]

  1. $O(n)$ è di Hausdorff per ogni $n\geq 1$. [2]

  2. $O(n)$ è compatto per ogni $n\geq 1$. [2]

  3. $O(n)$ è connesso per ogni $n\geq 1$. [43]

  4. $O(n)$ è metrizzabile per ogni $n\geq 1$. [7]

(6) Le componenti connesse di uno spazio topologico $X$ sono:
[$f=91.67\% $, $d=31.25\% $, mancate risposte: 2 ]

  1. I sottospazi connessi di $X$. [3]

  2. I sottospazi di $X$ non contenuti propriamente in sottospazi connessi di $X$. [0]

  3. I sottospazi sia aperti che chiusi di $X$. [0]

  4. I sottospazi connessi di $X$ non contenuti propriamente in sottospazi connessi di $X$. [55]

(7) Quale di queste implicazioni è vera?
[$f=91.67\% $, $d=12.50\% $, mancate risposte: 0 ]

  1. Se $X$ è connesso, allora $X$ è connesso per archi. [4]

  2. Se $X$ è compatto, allora $X$ è connesso per archi. [1]

  3. Se $X$ è connesso per archi, allora $X$ è connesso. [55]

  4. Se $X$ è connesso per archi, allora $X$ è compatto. [0]

(8) Sia $X$ uno spazio topologico connesso, con più di un punto. Quale delle seguenti affermazioni non è vera?
[$f=95.00\% $, $d=18.75\% $, mancate risposte: 0 ]

  1. Se $Y$ è omeomorfo a $X$, allora $Y$ è connesso. [0]

  2. $X$ è unione disgiunta delle sue componenti connesse, e se $X$ è compatto allora ogni componente connessa di $X$ è chiusa in $X$. [3]

  3. Ogni funzione continua $f\from X \to S^0$ è costante. [0]

  4. $X$ è necessariamente connesso per archi. [57]

(9) Sia $f \from \AA ^1(\QQ ) \to \AA ^1(\CC )$ la funzione definita da $ f(t) = e^{it}. $ Allora...
[$f=28.33\% $, $d=25.00\% $, mancate risposte: 31 ]

  1. La funzione $f$ è iniettiva. [17]

  2. Nessuna delle altre risposte. [5]

  3. L’immagine di $f$ in $\AA ^1(\CC )$ è una retta affine. [3]

  4. La controimmagine $f^{-1}(1)\subset \AA ^1(\QQ )$ è una retta affine. [4]

(10) Su $\QQ $ si consideri la base formata dai sottoinsiemi $X_ m = \{ x \in \QQ : mx \in \ZZ \} $, per $m\in \NN $, $m\geq 1$. Allora $\QQ $, con la topologia generata dalla base $\{ X_ m\} $, è ...
[$f=18.33\% $, $d=37.50\% $, mancate risposte: 15 ]

  1. connesso ma non compatto. [11]

  2. compatto ma non connesso. [2]

  3. connesso e compatto. [1]

  4. né connesso, né compatto. [31]