(Segnare la risposta corretta, e riportarla poi nella prima pagina. Una risposta giusta vale $+3$, una risposta sbagliata $-1$, nessuna risposta o più di una risposta segnata: $0$)

(1) Quale tra le seguenti famiglie $\beta $ di sottoinsiemi di $X$ non è una base per una topologia sull’insieme $X$ indicato?
(Due risposte erano valutate come corrette: la C e la D.) [$f=64.79\% $, $d=52.63\% $, mancate risposte: 20 ]

  1. $X=\NN $ e $\beta $ è la famiglia di sottoinsiemi del tipo $\{ k \in \NN : k \leq N \} $, con $N\in \ZZ $. [3]

  2. $X=\NN $ e $\beta $ è la famiglia degli insiemi della forma $B_ i = \{ ki : k \in \NN \} $, con $i$ intero. [2]

  3. [giusta] $X=\ZZ $, e $\beta $ è la famiglia di intervalli del tipo $[a,b]$, con $a,b \in \ZZ $, $a < b$. [12]

  4. [giusta] $X=\RR $ e $\beta $ è data dagli insiemi della forma $[1/n,n]$, con $n\in \NN $, $n > 1$. [34]

(2) Sia $A=\{ x\in \QQ : 0 < x < 1 \} \subset \QQ $. Quale dei seguenti sono ricoprimenti di $A$ da cui si può estrarre un sottoricoprimento finito di $A$?
(La A non è un ricoprimento. La B potrebbe essere — con una certa dose di ottimismo — considerata corretta a patto di considerare l’intervallo (1,0) non l’insieme $1 < x < 0$ ma $0 < x < 1$. La C è corretta, la D no) [$f=32.39\% $, $d=42.11\% $, mancate risposte: 11 ]

  1. La famiglia degli intervalli del tipo $\{ x \in A : x \in (y-1/2,y+1/2), y \in \ZZ \} $. [28]

  2. [giusta] La famiglia degli intervalli del tipo $\{ x\in A : x \in (1/n,1-1/n)\} $, con $n\in \NN $, $n > 0$. [11]

  3. [giusta] La famiglia dei sottoinsiemi del tipo

    \[ \{ x\in A : x \not\in (\sqrt {3}-\dfrac {1}{n} ,\sqrt {3}+\dfrac {1}{n} ) \} \]

    al variare di $n\in \NN $, $n > 0$. [12]

  4. La famiglia dei sottoinsiemi del tipo

    \[ \{ x \in A : x \not\in (\dfrac {\sqrt {3}}{2} - \dfrac {1}{n}, \dfrac {\sqrt {3}}{2} + \dfrac {1}{n} )\} , \]

    al variare di $n \in \NN $, $n > 0$. [9]

(3) Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(Se lo spazio è uno spazio con due punti, e la topologia discreta, allora è compatto, di Hausdorff, e ha sottospazi compatti che sono anche aperti... quindi la C è sbagliata.) [$f=46.48\% $, $d=78.95\% $, mancate risposte: 0 ]

  1. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff. [3]

  2. [giusta] Ogni successione di Cauchy converge. [33]

  3. Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff può essere aperto. [33]

  4. Una funzione continua $f\from X \to Y$ biunivoca da un compatto $X$ ad un Hausdorff $Y$ è un omeomorfismo. [2]

(4) Uno spazio metrico $X$ è compatto se ...
[$f=80.28\% $, $d=63.16\% $, mancate risposte: 2 ]

  1. $X$ è chiuso e limitato. [12]

  2. [giusta] per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un sottoricoprimento finito di $X$. [57]

  3. Per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un sottoricoprimento di $X$. [0]

  4. Per ogni ricoprimento aperto di $X$ esiste un ricoprimento finito di $X$. [0]

(5) Data $f\from X \to Y$ definita tra spazi topologici, quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alle altre?
[$f=92.96\% $, $d=21.05\% $, mancate risposte: 3 ]

  1. $f$ è continua. [0]

  2. [giusta] $\forall A\subset X$, $f(\overline{A}) \supset f(\overline{A})$. [66]

  3. $\forall C\subset Y$ chiuso, $f^{-1}(C)$ è chiuso in $X$. [1]

  4. Se $\mathcal{B}$ è una base per $Y$, allora per ogni elemento $B\in \mathcal{B}$, $f^{-1}(B)$ è aperto in $X$. [1]

(6) Quale dei seguenti non è necessariamente un omeomorfismo?
[$f=87.32\% $, $d=31.58\% $, mancate risposte: 1 ]

  1. [giusta] $f\from [0,2\pi )\subset \RR \to S^1\subset \CC $, con $f(t) = e^{it/n} \in S^1$, con $n\in \NN $, $n > 0$. [62]

  2. una funzione biunivoca, continua e chiusa. [0]

  3. una funzione biunivoca, continua e aperta. [6]

  4. una funzione biunivoca, continua e con inversa continua. [2]

(7) Sia $X$ un insieme finito, con $n > 1$ elementi. Tra tutte le topologie possibili di $X$, quante sono quelle metrizzabili?
[$f=73.24\% $, $d=52.63\% $, mancate risposte: 8 ]

  1. $2^ n$. [4]

  2. $n!$. [1]

  3. [giusta] 1. [52]

  4. tutte. [6]

(8) Siano $F\from X \to Y$ e $G\from Y \to Z$ funzioni tra spazi topologici, tali che la composizione $G\circ F\from X \to Z$ sia continua. Allora ...
[$f=64.79\% $, $d=21.05\% $, mancate risposte: 4 ]

  1. [giusta] se $F$ è un omeomorfismo, allora $G$ è continua. [46]

  2. se $G$ è continua, allora $F$ è continua. [10]

  3. se $F$ è continua, allora $G$ è continua. [4]

  4. $G\circ F$ è un omeomorfismo se solo se $G$ e $F$ sono entrambe omeomorfismi. [7]

(9) Uno spazio topologico di Hausdorff è necessariamente ...
In realtà non è vero che uno spazio topologico di Hausdorff è necessariamente metrizzabile! Ma forse questo fatto non è stato spiegato in modo del tutto chiaro (cfr. esempio (8.16)... ), e comunque la colpa è di F.A., G.C, S.C e F.G....)

[$f=94.37\% $, $d=15.79\% $, mancate risposte: 1 ]

  1. compatto. [3]

  2. [giusta] metrizzabile. [42]

  3. euclideo. [0]

  4. [giusta] nessuna delle altre risposte. [25]

(10) Sia $C\subset X$ un sottoinsieme, con la topologia indotta, di uno spazio metrico $X$. Quali delle seguenti sono successioni in $C$ che ammettono una sottosuccessione che converge in $C$?
[$f=39.44\% $, $d=68.42\% $, mancate risposte: 7 ]

  1. Tutte e sole le successioni definitivamente costanti. [6]

  2. Tutte le successioni in $C$. [29]

  3. Tutte e sole le successioni crescenti in $C$. [1]

  4. [giusta] Tutte le successioni costanti in $C$. [28]