Alcuni esercizi di ricapitolazione

(5.26) In $\PP ^2(\RR )$ si consideri la conica $C$ di equazione

\[ -x^2 + y^2 +4xu - 4yu +4u^2 = 0 \]
  1. Determinare se è singolare.

  2. Stabilire quali dei punti $[1:0:2]$, $[0:3:0]$ e $[1:0:0]$ sono tra loro coniugati rispetto a $C$.

  3. Trovare l’insieme dei punti coniugati a $[1:3:1]$.

  4. Scrivere il polo della retta di equazione $x - 2y - 2u=0$.

  5. Trovare la retta tangente a $C$ nel punto $[0:2:1]$.

  6. Trovare le rette tangenti a $C$ per il punto $[0:0:1]$.


(5.27) Sia $C$ la conica di $\EE ^2$ di equazione

\[ x^2 - 2y^2 -xy + 2x +5y - 3 = 0. \]

Mostrare che è degenere e determinare il vertice di $C$ nel completamento proiettivo di $\EE ^2$.

(5.28) Sia $C$ la conica di $\EE ^2$ di equazione

\[ 2x^2 + 2y^2 + 4xy=0 \]

Mostrare che è degenere e determinarne il vertice, se possibile.

(5.29) Si studino le coniche $C$ di $\EE ^2$ di equazione

  1. $3x^2 + 3y^2 - 2xy - 6x - 14y + 19 = 0$;

  2. $3x^2 + 4xy - 2x -1=0$;

  3. $5xy -12x + 6y + 12 =0$;

  4. $x^2 + y^2 + 2xy - 2x - 10y + 1$;

Cioè:

  1. Determinare il tipo nella classificazione euclidea delle coniche.

  2. Calcolare il centro, se è a centro.

  3. Asintoti e direttrice, se ci sono.

  4. Trovare gli assi di simmetria.

  5. Trovare i vertici.

  6. Scriverla in forma canonica.

  7. Trovare i fuochi.

  8. Eccentricità.


(5.30) Si trovi l’equazione di una conica passante per i punti di $\EE ^2$

\[ (2,0), (1,0), (0,1), (0,3), (2,1). \]


(5.31) Si trovi l’equazione di una conica passante per i punti di $\PP ^2(\CC )$

\[ [1:0:1], [0:2:1], [2:3:1], [1:0:0], [0:1:0]. \]


(5.32) Si trovi l’equazione in $\EE ^2$ di una iperbole con asintoto di equazione $x-y+2=0$, passante per $(1,1)$ e tale che il diametro associato con il punto improprio $[1:0:0]$ sia la retta di equazione $x+2y-1=0$.

(5.33) Scrivere l’equazione in $\EE ^2$ della parabola con fuoco in $(-1,-1)$ e con la retta di equazione $x+2y-1=0$ per direttrice.

(5.34) Scrivere l’equazione di una parabola in $\EE ^2$ con fuoco in $(0,0)$ e vertice in $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

(5.35) Trovare l’equazione dell’ellisse che ha fuoco in $(1,-1)$, direttrice corrispondente la retta $x-y=0$ ed eccentricità $\frac{1}{2}$.

(5.36) Trovare l’equazione dell’iperbole con fuoco in $(1,-1)$, polare di questo fuoco la retta di equazione $x+y=1$ e passante per $(2,-2)$.

(5.37) Si trovi in $\EE ^2$ l’equazione della conica che ha per asse la retta $4x+2y-5=0$, per fuoco il punto $(2\sqrt {2} + 1,\sqrt {2} + 1/2 )$ ed eccentricità $\sqrt {5}$.

(5.38) Trovare l’equazione in $\EE ^2$ dell’iperbole con fuoco in $(4,3)$, centro in $(2,1)$ e passante per $(3,2)$.

(5.39) Trovare l’equazione dell’ellisse con vertice in $(2+\sqrt {2},2+\sqrt {2})$, asse la retta $x+y=4$ e per polare di un fuoco la retta $x+y=8$.

(5.40) Sia $X\subset \EE ^2$ il luogo dei centri delle circonferenze tangenti esternamente alle due circonferenze di equazioni $x^2+y^2=49$ e $(x-10)^2 + y^2 = 1$. Dimostrare che $X$ è un’iperbole e scriverne l’equazione.

(5.41) In $\EE ^2$, sia $X$ il luogo dei punti la cui retta polare rispetto alla parabola di equazione $y=x^2$ è tangente alla conica di equazione $x^2+y^2-2x=0$. Studiare $X$ dopo averne scritto l’equazione.

(5.42) [*] Sia $T$ un triangolo inscritto in una parabola di $\EE ^2$. Dimostrare che l’area di $T$ è il doppio dell’area formata dalle tangenti alla parabola nei vertici di $T$.

***

(5.43) Si consideri la curva affine di equazione

\[ x^4 + y^4 -xy = 0. \]

Determinare:

  1. eventuali simmetrie;

  2. i punti impropri;

  3. le intersezioni con gli assi;

  4. i punti doppi;

  5. la tangente nel punto $(1/\sqrt {2},1/\sqrt {2})$.

  6. disegnare un grafico della traccia reale.


(5.44) Si studino le seguenti curve (simmetrie, punti impropri, asintoti se ci sono, intersezioni con gli assi, punti doppi, flessi, tangenti nelle intersezioni con gli assi, grafico qualitativo) in $\EE ^2$ e in $\AA ^2(\CC )$.

  1. $x^4 +x^2y^2 + 2y = 0$;

  2. $x^3 - xy^2 - y = 0$;

  3. $x^3-3x^2-y^2 = 0$;

  4. $(x-2)y^2 + x(x-1)^2 = 0$;

  5. la famiglia di cubiche di equazione $y^3 = c(x^2-y^2)$, $c\in \RR $;

  6. la famiglia di quartiche di equazione $(x-1)^2(x^2+y^2) - cx^2$, $c\in \RR $.


(5.45) [*] Si considerino, al variare del parametro $\lambda \in \RR $, le coniche $C_\lambda $ di equazione $3x^2 + y^2 = \lambda x$ in $\EE ^2$. Determinare una curva $\gamma $ con la seguente proprietà: per ogni $\lambda $, $\gamma $ interseca $C_\lambda $ in modo ortogonale (cioè le tangenti nel punto alle due curve sono ortogonali).

(5.46) Scrivere una parametrizzazione (razionale) per la cubica di equazione

\[ y^3 = x^2 - y^2. \]


(5.47) [*] Studiare le seguenti curve (vale usare un CAS, meglio se dopo aver provato con carta e matita o stilo su tavoletta di cera), dove $a,b\ldots $ sono parametri:

  1. (folium di Cartesio) $x^3 + y^3 - 3axy=0$.

  2. (cissoide di Diocle) $x(x^2+y^2) = 2ay^2$.

  3. (concoide di Nicomede) $(y-a)^2(x^2+y^2) = b^2y^2$.

  4. (lemniscata di Bernoulli) $(x^2+y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)$.

  5. (limacon di Pascal, cardioide per $b=2a$) $(x^2 +y^2-2ax)^2 = b^2(x^2 + y^2)$.

  6. (strofoide retta) $y^2(a-x) = x^2(a+x)$.

  7. (versiera di Agnesi, Agnesi’s witch) $y(x^2+a^2)=a^3$.

  8. (bicorno) $y^2(a^2-x^2) = (x^2 +2ay - a)^2$.

  9. (ovale di Cassini) $(x^2+y^2)^2 - 2a^2(x^2-y^2) + a^4 - b^4$.

  10. (sestica di Cayley) $r (x^2+y^2-ax)^3 = 27a^2 (x^2+y^2)^2$.

  11. (curva del diavolo) $y^4 - x^4 +ay^2 + bx^2 = 0$.

  12. (doppio folium) $(x^2+y^2)^2 = 4axy^2$.

  13. (otto) $x^4 = a^2(x^2 - y^2)$.

  14. (kappa) $y^2(x^2+y^2) = a^2x^2$.

  15. (parabola semi-cubica di Neile) $y^3 = a x^2$.

  16. (perle di Sluze) $y^ n = b(a-x)^ h x^ m$.

  17. (quartica a pera) $b^2y^2 = x^3(a-x)$.

  18. (la serpentina) $x^2y + aby - a^2x = 0$.

  19. (trifolium) $(x^2+y^2)(y^2+x(x+a))=4axy^2$.

  20. (trisettrice di MacLaurin) $y^2(a+x) = x^2(3a-x)$.

  21. (curve di Lamé) $(x/a)^ n + (y/b)^ n = 1$.


(5.48) Scrivere un’equazione algebrica che approssimi la curva di figura

img #55
Figura 4.10: Spirale di Fermat

* , con un polinomio $p(x,y)$ di grado al massimo 24.

***

Altri esercizi puramente immaginari.