Esercizi: foglio 4

(4.1) Calcolare il risultante delle seguenti coppie di polinomi

  1. $f(x) = x^5 - 3x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 7x + 6$, $g(x) = x^4 + x^2 + 1$.

  2. $f(x) = ax^2 + bx + c$, $g(x) = Ax^2 + Bx + C$.

  3. $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, $g(x) = 3x^3 + 2ax + b$.

  4. $f(x,y) = x^2y - 3xy^2 + x^2 - 3xy$, $g(x,y) = x^3y + x^3 - 4y^2 - 3y + 1$, sia rispetto a $x$ che a $y$.


(4.2) Dimostrare che se $\vx ,\vy ,\va \in \CC ^3$, allora per ogni $\va $ il polinomio

\[ p(\vx ,\vy ) = \det (\vx ,\vy ,\va ) \]

è irriducibile.

(4.3) Sia $\gamma \subset \PP ^2(\CC )$ una conica non degenere, di equazione $q(x,y,u)=0$, e siano $A,B,C,D,E,F$ sei punti distinti su $\gamma $. Siano $a,b,c,d,e,f$ le sei rette passanti per le coppie di punti (rispettivamente) $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA$. Dimostrare i seguenti fatti.

  1. Le sei rette $a,b,c,d,e,f$ sono distinte. Siano $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$ i punti definiti da $Q_1=a\cap d$, $Q_2=b\cap e$ e $Q_3=c\cap f$. I tre punti $Q_ i$ sono distinti e non appartengono alla conica $\gamma $.

  2. Sia $g_1 \in \CC [x,y,u]$ il polinomio omogeneo di grado 3, prodotto delle tre forme lineari che definiscono $a$, $c$, $e$. Sia $g_2 \in \CC [x,y,u]$ il polinomio omogeneo di grado 3, prodotto delle forme lineari che definiscono $b$, $d$, $f$. Allora per ogni $\lambda \in \CC $ il polinomio (omogeneo di grado 3) $g = g_1 + \lambda g_2$ definisce una cubica $\Gamma _\lambda $ di $\PP ^2(\CC )$ che passa per $A,B,C,D,E,F$, e anche per $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$.

  3. Se $P$ è un qualsiasi punto di $\gamma $ diverso da $A,B,C,D,E,F$, allora esiste $\lambda =\lambda _ P\in \CC $ tale che la cubica corrispondente $\Gamma _\lambda $ passa per $P$. Dedurre dal Teorema di Bézout che il polinomio $g = g_1 + \lambda _ P g_2$ è divisibile per $q$.

  4. I tre punti $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$ sono allineati1.

  5. Si consideri una carta affine che contiene i sei punti $A,B,C,D,E,F$. Se in questa carta affine le rette $a$ e $d$ sono parallele, e le rette $b$ e $e$ sono parallele, allora anche le rette $c$ e $f$ sono parallele.


(4.4) Si consideri l’azione del gruppo $S_4$ formato da tutte le permutazioni di quattro punti $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$. Mostrare se il birapporto $b = [P_1,P_2;P_3,P_4]$, allora

\[ \begin{aligned} [P_2,P_1;P_3,P_4] & = b^{-1}\\[P_1,P_2;P_4,P_3]& = b^{-1} \\[P_1,P_3;P_2,P_4]& = 1- b. \end{aligned} \]

Dedurre che l’insieme di tutti i valori che può assumere il birapporto di una permutazione dei quattro punti $P_ i$ è l’insieme di sei elementi

\[ \left\{ b , \dfrac {1}{b}, 1-b, \dfrac {1}{1-b}, 1-\dfrac {1}{b} = \dfrac {b-1}{b}, \dfrac {b}{b-1} \right\} . \]


(4.5) Si dimostri che il birapporto di quattro rette che passano per un punto $Q\in \PP ^2(\KK )$ è un invariante proiettivo.

(4.6) Supponiamo che $\gamma $ sia una curva parametrizzata da

\[ x(t) = \dfrac {f_1(t)}{g_1(t)}, y(t) = \dfrac {f_2(t)}{g_2(t)}, \]

con $f_ i, g_ i \in \KK [t]$. Mostrare che per ogni $t\in \KK $ il punto $(x(t),y(t))$ appartiene alla curva in $\AA ^2(\KK )$ di equazione $R(x,y) = 0$, dove $R$ è il risultante rispetto a $t$ a coefficienti in $\KK [x,y]$

\[ R = \textrm{Risultante}(f_1(t) - xg_1(t), f_2(t) - y g_2(t); t); \]
  1. $x=t^2$, $y=t^2(t+1)$.

  2. $x=\dfrac {t-1}{t^2}$, $y=t-1$.

  3. $x=\dfrac {t(t^2+1)}{t^4+1}$, $y=\dfrac {t(t^2-1)}{t^4+1}$.


(4.7) [*] Siano $a_0$, $a_1$, ... , $a_ n$ coefficienti in un campo $\KK $ (o anello? o dominio di integrità?), di un polinomio

\[ p(x) = a_ n x^ n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \in \KK [x]. \]

Si fissi un elemento $z\in \KK $ e si proceda a calcolare nel modo seguente

\[ \begin{split} b_0 & = a_ n \\ b_1 & = b_0 z + a_{n-1} \\ b_2 & = b_1 z + a_{n-2} \\ & \vdots \\ b_ n & = b_{n-1} z + a_0 \end{split} \]

Dimostrare che $b_ n$ è il valore del polinomio in $z$, cioè che $b_ n= p(z)$. Dedurre che per ogni $z_0 \in \KK $ esiste un unico polinomio $q\in \KK [x]$ di grado $n-1$ tale che $p(x) = (x-z_0)q(x) + p(z_0)$, e quindi se $z_0$ è uno zero di $p$ allora $p(x) = (x-z_0)q(x)$.2

(4.8) Dedurre dal Teorema Fondamentale dell’Algebra che un polinomio con coefficienti complessi di grado $n$ ha al più $n$ radici (complesse), e che esistono $l\leq n$ numeri complessi distinti $z_1,z_2, ... ,z_ l$ e $l\leq n$ interi $m_ k\geq 1$ tali che tali che

\[ p(z) = a \prod _{k=1}^ l (z-z_ k)^{m_ k} = a (z-z_1)^{m_1}(z-z_2)^{m_2}\ldots (z-z_ l)^{m_ l}, \]

per un certo coefficiente $a\neq 0$. Il numero $m_ k$ è anche chiamato molteplicità algebrica della radice $z_ k$. In altre parole, le componenti irriducibili di un polinomio complesso hanno grado $1$. (Si usi il risultato dell’Esercizio 4.7)

(4.9) [*] Sia $m(d,n)$ il numero di monomi omogenei di grado $d$ in $n$ variabili, (cfr. esercizio 3.38 a pagina * per $n=3$) e $p(d,n)$ il numero di monomi di grado al più $d$ in $n$ variabili. Mostrare che per ogni $d$ e $n$ si ha

\[ \begin{aligned} m(d,n) & = p (d,n-1) \\ p(d,n) & = \sum _{k=0}^ d m(k,n). \end{aligned} \]

Dedurre, per induzione, che

\[ m(d,n) = \binom {d+n-1}{d},\quad p(d,n) = \binom {d+n}{d}. \]

(Ricordare la formula ricorsiva di Pascal $\binom {n}{k} = \binom {n-1}{k-1} + \binom {n-1}{k}$, oltre alle formule $\binom {n}{0} = \binom {n}{n} = 1$ e $\binom {n}{k} = \dfrac {n!}{(n-k)!k!}$)

(4.10) [*] Si dimostri (per induzione su $m$) la formula (in $\KK [a,b]$)

\[ (a+b)^ m = \sum _{k=0}^ m \binom {m}{k} a^ k b^{m-k}. \]

Ponendo

\[ \binom {m}{k_1,\ldots ,k_ n} = \dfrac {m!}{k_1!\ldots k_ n!} \]

si mostri (per induzione su $n$) che (in $\KK [x_1,\ldots , x_ n]$)

\[ (x_1 + \ldots + x_ n)^ m = \sum _{k_1+\ldots + k_ n=m} \binom {m}{k_1,\ldots , k_ n} x_1^{k_1} \ldots x_ n^{k_ n}, \]

dove la somma viene su tutte le $n$-uple $k_1,\ldots , k_ n$ di interi $\geq 0$ tali che $k_1+\ldots +k_ n=m$.

(4.11) Dimostrare che ogni polinomio omogeneo di grado $d$ in $\CC [x,u]$ si fattorizza in $d$ polinomi omogenei di grado $1$ (non necessariamente distinti).

(4.12) Dimostrare che ogni polinomio omogeneo di grado $d$ in $\RR [x,u]$ si fattorizza in $l\leq d$ polinomi omogenei di $\RR [x,u]$ di grado $1$ o $2$, irriducibili.

(4.13) [*] Si mostri che l’operatore $\mathrm{d}\, = \dfrac {\partial }{\partial x} \from \KK [x] \to \KK [x]$ definito in (1.2) soddisfa i seguenti assiomi:

  1. $\mathrm{d}\, ( af(x) + bg(x) ) = a \mathrm{d}\, f(x) + b \mathrm{d}\, g(x)$;

  2. $\mathrm{d}\, ( f(x) \cdot g(x) ) = f(x) \cdot \mathrm{d}\, g(x) + \mathrm{d}\, f(x) \cdot g(x)$.

Si mostri che vale l’analogo della regola della catena per la derivazione di funzioni composte, cioè la derivazione di sostituzioni: $\mathrm{d}\, ( f(g(x)) = f’(g(x) g’(x)$. Se $f$ è un polinomio in $n$ variabili $x_1, \ldots , x_ n$ e $g_ i(t)$, $i=1,\ldots n$ sono polinomi di $t$, allora

\[ \dfrac {\partial }{\partial t} ( f( g_1(t), \ldots , g_ n(t) ) ) = \sum _{i=1}^ n \dfrac {\partial f}{\partial x_ i } (g_1(t), \ldots , g_ n(t) ) \cdot g’_ i(t). \]


(4.14) [*] Si dimostri la Proposizione (1.8): la riducibilità/irriducibilità, il numero, il grado e la molteplicità delle componenti irriducibili sono proprietà affini/proiettive.

(4.15) Ad una variabile di un polinomio si può sostituire un elemento del campo, oppure un altro polinomio (a coefficienti nello stesso campo) oppure un elemento di un dominio che contenga il campo. Se $p\in \KK [x]$, l’oggetto che si ottiene sostituendo a $x$ un oggetto $s$ si indica con $p(s)$. Si dimostrino le seguenti proprietà della sostituzione su un campo $\KK $:

  1. Se si divide $p\in \KK [x]$ per $x-a$, il resto è $f(a)$.

  2. L’elemento $a\in \KK $ è uno zero di $p$ se solo se $x-a$ divide $p$.

  3. Un polinomio di grado $d$ non ha più di $d$ zeri.

  4. Se $p(x_1,\ldots , x_ n) \in D[x_1,\ldots , x_ n]$, dove $D$ è un dominio (di integrità), ed esiste un insieme infinito $A$ di elementi di $\KK $ per cui $\forall \va \in A^ n$, $p(\va ) = 0$, allora $p(x_1,\ldots , x_ n) = 0$ (si consideri l’induzione sul numero di variabili).


(4.16) Verificare che la definizione di retta tangente ad una curva proiettiva quella di retta tangente ad una conica coincidono.

(4.17) Delle seguenti curve di $\AA ^2(\KK )$, determinare le proprietà locali nell’origine e all’infinito (cioè l’ordine e il numero di tangenti principali), per $\KK =\CC $ e $\KK =\RR $.

  1. $y^2(x-2y)=x^2+y^2$;

  2. $(x-y)^3 + x^2 - y^2 - 4x = 0$;

  3. $x^2(x^2-y^2) - 4x^2y + y^3=0$;

  4. $x^2(x^2+y^2) - x^2y + y^3=0$;

  5. $x^2y^2 - x^3 - y^3 -xy = 0$;

  6. $y^2 + x^4 +x^5$;

  7. $y-4x^2 - x^5$.


(4.18) Concludere la dimostrazione della proposizione (10.1) a pagina *.

(4.19) Dimostrare che per ogni $k,l\geq 1$,

\[ \binom {k+l}{k} \geq \binom {k+1}{k}, \]

e l’uguaglianza vale solo se $l=1$.

(4.20) Dimostrare che una cubica di equazione $y^2=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ è singolare se e soltanto se due delle tre radici $x_ i$ coincidono.

(4.21) Calcolare il discriminante del polinomio $x^3 - px + q$.

(4.22) Dimostrare che

\[ \det \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{r-1} & a_ r \\ -t & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & - t & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & - t & 1 \end{bmatrix} = a_0 + a_1t + \ldots + a_ r t^ r. \]


(4.23) Dimostrare che se $p\in \RR [x]\subset \CC [x]$ ha una radice $z_0\in \CC $, allora anche $\overline z_0$ è una radice di $p$.

(4.24) Trovare le intersezioni delle seguenti curve di $\PP ^2(\CC )$:

  1. \[ \left\{ \begin{aligned} x(y^2-xu)^2 - y^5 & = 0 \\ y^4 + y^3u - x^2u^2 & = 0 . \end{aligned}\right. \]
  2. \[ \left\{ \begin{aligned} x^3 - y^3 - 2xyu & = 0 \\ 2x^3 - 4x^2y - 3xy^2 - y^3 - 2x^2u & = 0\\ \end{aligned}\right. \]
  3. \[ \left\{ \begin{aligned} x^4 + y^4 - y^2u^2 & = 0 \\ x^4 + y^4 - 2y^3u - 2x^2yu -xy^2u + y^2u^2 & = 0. \end{aligned}\right. \]

(4.25) Completare tutti i calcoli mancanti nella dimostrazione della proposizione (8.7) a pagina *.


Footnotes

  1. Teorema dell’esagono di Pascal, Hexagrammum Mysticum
  2. Questo risultato è anche noto come lo schema di Horner per il calcolo del valore di una funzione polinomiale, usato anche per il cambio di base di un numero intero o per le divisioni di polinomi.