3. Polinomio di Taylor

Consideriamo una curva $C\subset \PP ^2(\KK )$, che passa per il punto $O=[0:0:1]$ (l’origine della carta affine). Il polinomio di $C$ è $f(x,y,u)$, con $f(0,0,1)=0$. Il fascio di rette per $[0:0:1]$ è descritto dal loro punto improprio $B=[\alpha :\beta :0]$: le rette hanno quindi equazioni parametriche in $[s:t]$ $P = sO + tB$. L’intersezione tra $C$ e la retta $r$ del fascio di rette è data dalle soluzioni della equazione omogenea in $s$ e $t$

\[ f(sO+tB) = 0 \iff f(t\alpha , t \beta , s ) = 0. \]

La molteplicità di $[s:t] = [1:0]$ coincide con la molteplicità di $0$ nell’equazione disomogeneizzata

\[ f( t\alpha , t\beta , 1) = 0. \]

Il polinomio (affine) $f(x,y,1)$ si scrive come somma di termini $F_ r$ omogenei di grado $r$

\[ f(x,y,1) = F_0 + F_1(x,y) + F_2(x,y) + \ldots \]

Dato che $f(0,0,1)=0$, si ha $F_0=0$. Supponiamo che $F_1\neq 0$. Allora $f(t\alpha , t\beta , 1 ) = 0$ se e soltanto se

\[ t F_1(\alpha ,\beta ) + t^2 F_2(\alpha ,\beta ) + \ldots = 0, \]

e $t=0$ è una radice semplice quando $F_1(\alpha ,\beta )\neq 0$, altrimenti è una radice multipla. Se $F_2(\alpha ,\beta ) \neq 0 = F_1(\alpha ,\beta )$, allora $t=0$ è una radice doppia.

Fissato $[\alpha :\beta ]$, sia $k$ l’intero per cui $F_ j(\alpha ,\beta ) = 0$ per ogni $j=0\ldots k$ ma $F_{k+1}(\alpha ,\beta ) \neq 0$: la retta di coefficienti $[\alpha :\beta ]$ interseca $C$ in $O$ con molteplicità $k+1$. Ora, se il termine di grado minimo è $F_ m$, cioè se

\[ f(x,y,1) = F_ m(x,y) + F_{m+1}(x,y) + \ldots \]

con $m > 0$, e $F_ m \neq 0$, allora certamente tutte le rette per cui $F_ m(\alpha ,\beta ) \neq 0$ incontrano $C$ in $O$ con molteplicità $m$, mentre la molteplicità per quelle con $F_ m(\alpha ,\beta ) = 0$ non può essere inferiore a $m$: segue che $m$ è proprio uguale a $m_ O(C)$, cioè è la molteplicità del punto. In altre parole:

La molteplicità di $C$ in $O$ è uguale al minimo grado dei monomi non nulli di $f(x,y,1)$. Le tangenti principali a $C$ in $O$ hanno equazioni \[ \alpha y = \beta x, \] per ogni $[\alpha ,\beta ]$ soluzione di $F_ m(x,y)=0$.

Segue immediatamente dalle considerazioni precedenti la seguente proposizione.

(3.1) Proposizione. Il numero di tangenti principali ad un punto $P$ di molteplicità $m$ è compreso tra $0$ e $m$, e tra $1$ e $m$ se il campo $\KK $ è algebricamente chiuso.

Torniamo un momento al fatto che il polinomio (affine) $p(x,y) = f(x,y,1)$ si scrive come somma di termini $F_ r$ omogenei di grado $r$

\[ p(x,y) = F_0 + F_1(x,y) + F_2(x,y) + \ldots \]

Abbiamo visto che $F_0 = p(0,0) = P(O)$, e che $F_1(x,y) = x \dfrac {\partial p}{\partial x}(O) + y \dfrac {\partial p}{\partial y}(O)$. Vediamo che i termini omogenei $F_ r(x,y)$ si possono scrivere in funzione delle derivate $r$-esime in $O$ nel modo seguente (se $\KK $ ha caratteristica $0$):

\[ F_ r(x,y) = \sum _{i+j=r} \dfrac {1}{i! j!} \dfrac {\partial ^ r p}{\partial x^ i \partial y^ j} (O) x^ i y^ j \]

Per dimostrarlo, osserviamo che l’operatore $\KK [x,y] \to \KK $ definito da (per $i+j=r$)

\[ p \mapsto \dfrac {\partial ^ r p}{\partial x^ i \partial y^ j} (O) \]

è lineare in $p$, e derivando il monomio $x^ h y^ k$ si ottiene

\[ \dfrac {\partial ^ r (x^ h y^ k) }{\partial x^ i \partial y^ j} = \dfrac {\partial ^ i}{\partial x^ i}(x^ h) \dfrac {\partial ^ j}{\partial y^ j} (y^ k). \]

Ora, tenuto conto che

\[ \dfrac {\partial ^ i}{\partial x^ i} (x^ h) (O)= \begin{cases} i! & \text {se $h=i$} \\ 0 & \text {altrimenti}, \end{cases} \]

si deduce che

\[ \dfrac {\partial ^ i}{\partial x^ i}(x^ h) (0) \dfrac {\partial ^ j}{\partial y^ j} (y^ k) (0) = \begin{cases} i! j! & \text {se $h=i$ e $k=j$} \\ 0 & \text {altrimenti}, \end{cases} \]

e quindi che l’operatore

\[ p \mapsto \dfrac {1}{i!j!} \dfrac {\partial ^ r p}{\partial x^ i \partial y^ j} (O) \]

vale $1$ sul monomio $x^ iy^ j$ e $0$ su tutti gli altri monomi, e quindi che, posto $F_ r(x,y) = \sum _{h+k=r} a_{hk} x^ h y^ k$

\[ \begin{aligned} \sum _{i+j=r} \dfrac {x^ iy^ j}{i!j!} \dfrac {\partial ^ r }{\partial x^ i \partial y^ j} F_ r(x,y)(O) & = \sum _{i+j=r} \sum _{h+k=r} a_{hk} \dfrac {x^ iy^ j}{i!j!} \dfrac {\partial ^ r}{\partial x^ i \partial y^ j} ( x^ h y^ k ) (O) \\ & = \sum _{h+k=r} a_{hk} \sum _{i+j=r} \dfrac {x^ iy^ j}{i!j!} \dfrac {\partial ^ r}{\partial x^ i \partial y^ j} (x^ h y^ k) (O) \\ & = \sum _{h+k=r} a_{hk} x^ h y^ k = F_ r(x,y). \end{aligned}, \]

mentre

\[ \sum _{i+j=r} \dfrac {x^ iy^ j}{i!j!} \dfrac {\partial ^ r F_{r'}}{\partial x^ i \partial y^ j} (O) = 0 \]

se $r’\neq 0$. Segue quindi che la parte omogenea di grado $r$ di un polinomio $p(x,y)$ è proprio uguale a

\[ F_ r(x,y) = \sum _{i+j=r} \dfrac {1}{i! j!} \dfrac {\partial ^ r p}{\partial x^ i \partial y^ j} (O) x^ i y^ j. \]

Con una semplice traslazione si può cambiare l’origine, da $O$ a qualsiasi punto del piano $\PP ^2(\KK )$ (oppure cambiare la carta affine), e ottenere la seguente proposizione.

(3.2) Proposizione. Il punto $P\in C \subset \AA ^2(\KK )$ di una curva algebrica $C=\{ p=0\} $ è un punto multiplo di ordine $m$ se e soltanto se tutte le derivate di $p$ fino all’ordine $m-1$ si annullano in $P$ \[ i+j < m \implies \dfrac {\partial ^{i+j}}{\partial x^ i \partial _ j} p(P)=0 \] e almeno una derivata di ordine $m$ non è zero in $P$.

(3.3) Teorema. Il punto $P\in \PP ^2(\KK )$ è un punto multiplo di ordine $m$ per la curva algebrica $F(x,y,u)=0$ se e soltanto se tutte le derivate $(m-1)$-esime di $F$ si annullano in $P$ ma non tutte le derivate $m$-esime di $F$ si annullano in $P$.

Dim. Possiamo (a meno di permutare le coordinate) supporre che $P$ non sia sulla retta impropria $u=0$, e che $u$ non divida $F$. Sia $p(x,y) = F(x,y,1)$ il polinomio non omogeneo (affine) associato. La molteplicità di $P$ per $p(x,y)=0$ in $\AA ^2(\KK )$ è uguale alla molteplicità di $P$ per $F(x,y,u) = 0$ in $\PP ^2(\KK )$. Osserviamo che, se $d$ è il grado di $F$, si ha

\[ x \dfrac {\partial F}{\partial x} + y \dfrac {\partial F}{\partial y} + u \dfrac {\partial F}{\partial u} = d F(x,y,u), \]

e che

\[ \dfrac {\partial ^{i+j} p}{\partial x^ i \partial x^ j} (x,y) = \dfrac {\partial ^{i+j} F}{\partial x^ i\partial y^ j}(x,y,1),\ \dfrac {\partial ^{i+j} p}{\partial x^ i \partial y^ j} (x,y) = \dfrac {\partial ^{i+j} F}{\partial x^ i \partial y^ j}(x,y,1). \]

Quindi se $p(P)=0$ e $\dfrac {\partial p}{\partial x}(P) = \dfrac {\partial p}{\partial y} (P) = 0 $, si ha

\[ x \dfrac {\partial F}{\partial x}(x,y,1) + y \dfrac {\partial F}{\partial y}(x,y,1) + \dfrac {\partial F}{\partial u}(x,y,1) = F(x,y,1) \]

e

\[ F(P) = 0,\ \dfrac {\partial F}{\partial x}(P) = \dfrac {\partial F}{\partial y}(P) = \dfrac {\partial F}{\partial u}(P) = 0. \]

Viceversa, se

\[ \dfrac {\partial F}{\partial x}(P)= \dfrac {\partial F}{\partial y}(P)= \dfrac {\partial F}{\partial u}(P) =0, \]

allora $F(P)=0$ e $\dfrac {\partial p}{\partial x} (P) = \dfrac {\partial p}{\partial y} (P) = 0$. In altre parole, tutte le derivate di $p$ (e il valore di $p$) fino all’ordine $1$ si annullano in $P$ se e soltanto se tutte le derivate di $F$ di ordine esattamente $1$ si annullano in $P$. Il teorema segue se dimostriamo che tutte le derivate di $p$ (il valore di $p$ in $P$ è la derivata $0$-esima) si annullano fino all’ordine $r$ se e soltanto se tutte le derivate $r$-esime di $F$ si annullano in $P$. Per induzione su $r$. Se $r=0,1$, abbiamo visto che è vero. Altrimenti, osserviamo che se $k > 0$

(1)\begin{equation} x\dfrac {\partial ^{i+j+k} F}{\partial x^{i+1} \partial y^ j \partial u^{k-1}} + y\dfrac {\partial ^{i+j+k} F}{\partial x^ i \partial y^{j+1} \partial u^{k-1}} + u\dfrac {\partial ^{i+j+k} F}{\partial x^ i \partial y^ j \partial u^ k} = (d - (i+j+k-1)) \dfrac {\partial ^{i+j+k-1} F}{\partial x^ i \partial y^ j \partial u^{k-1}} \end{equation}

dato che $\dfrac {\partial ^{i+j+k-1} F}{\partial x^ i \partial y^ j \partial u^{k-1}} $ ha grado $d-(i+j+k-1)$. Quindi, se tutte le derivate di $p$ fino all’ordine $r$ si annullano in $P$, in particolare anche tutte le derivate di $p$ fino all’ordine $r-1$ si annullano in $P$, pertanto per ipotesi di induzione tutte le derivate di $F$ di ordine $r-1$ si annullano in $P$, da cui segue che $\dfrac {\partial ^{i+j+k-1} F}{\partial x^ i \partial y^ j \partial u^{k-1}} (P)=0$ se $i+j+k = r$. Ora, se $i+j\leq r$,

\[ \dfrac {\partial ^{i+j} F}{\partial x^ i \partial y^ j} (P ) = \dfrac {\partial ^{i+j} p}{\partial x^ i \partial y^ j} (P) = 0, \]

e da (1) con $k=1$

\[ x\dfrac {\partial ^{i+j+1} F}{\partial x^{i+1} \partial y^ j } (P) + y\dfrac {\partial ^{i+j+1} F}{\partial x^ i \partial y^{j+1} } (P) + u\dfrac {\partial ^{i+j+1} F}{\partial x^ i \partial y^ j \partial u} (P) = 0, \]

e procedendo per iterando su $k$ si ha che tutte le derivate $\dfrac {\partial ^{i+j+k} F}{\partial x^ i \partial y^ j \partial u^{k}}$ si annullano in $P$, se $i+j+k = r$ e $k=0\ldots , r$. Abbiamo quindi mostrato che tutte le derivate fino alla $r$-esima di $F$ si annullano in $P$, e quindi in particolare che tutte le derivate $r$-esime si annullano in $P$.

Viceversa, supponiamo che tutte le derivate $r$-esime di $F$ si annullino in $P$. Di nuovo, per l’equazione (1) tutte le derivate fino all’ordine $r$ di $F$ si annullano in $P$ (compreso il valore di $F$). Dunque, in particolare, se $i+j\leq r$

\[ \dfrac {\partial ^{i+j} F}{\partial x^ i \partial y^ j}(P) = 0 \implies \dfrac {\partial ^{i+j} p}{\partial x^ i \partial y^ j}(P) = 0, \]

e quindi tutte le derivate di $p(x,y)=F(x,y,1)$ di ordine fino ad $r$ si annullano.

QED

Si vedano alcuni esempi di punti singolari nelle figure

img #46
Figura 4.1: Nodo $x^3-x^2+y^2=0$

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img #47
Figura 4.2: Nodo con tangenti immaginarie $x^3 + x^2 + y^2=0$

* ,

img #48
Figura 4.3: Cuspide $y^2 = x^3$

* ,

img #49
Figura 4.4: Tacnodo $2x^4 - 3x^2y + y^2 - 2y^3 +y^4=0$

* ,

img #50
Figura 4.5: Cuspide ramfoide (?) $x^4+x^2y^2 -2x^2y -xy^2 + y^2=0$

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img #51
Figura 4.6: Punto triplo $(x^2+y^2)^2 + 3x^2y - y^3=0$

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img #52
Figura 4.7: Punto quadruplo con due tangenti (due doppie) $(x^2+y^2)^3 - 4x^2y^2 = 0$

* ,

img #53
Figura 4.8: Una tangente tripla e due semplici $x^6 - x^2y^3 - y^5=0$

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